函数是中学数学的核心内容，而分段函数是函数的一种表现形式，在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误．现就分段函数的常见题型例析如下：

一、求分段函数的函数值

【例1】已知函数,求(<0)的值.

    【解析】因为<0,所以,又0<<1,故==,又因为,所以===－.

【评注】求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值.是分段函数，要求，需要确定的取值范围，为此又需确定的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，由内向外，逐步求解.

二、分段函数的值域与最值

【例2】求函数＝ 的值域．

【解析】当时，，则．当时，，则．故函数的值域是．

【评注】分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集.分段函数的最值需要比较各段最值的大小关系后，才能确定.

     三、分段函数的单调性

   【例3】已知满足对任意都有成立，则的取值范围是               ．

【解析】 由对任意都有成立可知在递增，则函数必须在区间和均是单调递增，而且．则解得.

【评注】在处理分段函数的单调性时，往往误认为在每一段函数为单调递增时，整个函数也是单调递增.实际上分段函数是单调递增函数，首先应该满足各段函数是递增的，然后还要约束分界点处函数值的关系，才可得到该函数在整个定义域上单调递增.若函数单调递减，则类比可得.   

    四、解分段函数不等式

    【例4】设函数,  若,  则得取值范围是（   ）

    【解析1】因为,  当时,  ,  解得,  当时,  ,  解得,  综上的取值范围是. 故选D.

【解析2】首先画出和的大致图像,  易知时,  所对应的的取值范围是.

【评注】在解分段函数不等式或求范围时应根据自变量的分段情况，转化为若干个不等式（组）求解，然后取这些不等式（组）解集的并集.同时，方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,  使问题得到大大简化,效果明显.

 五、解分段函数的零点（方程）问题

    【例5】已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.

【解析】函数，

当时，，当时，，

综上函数，做出函数的图象，要使函数与有两个不同的交点，则直线必须在四边形区域ABCD内(和直线平行的直线除外，如图，则此时当直线经过，，综上实数的取值范围是且，即或.  

    【评注】本题考查了函数的图象，以两图象相交于两点为载体，求实数的取值范围，意在考杳考生的数形结合思想与综合分析问题的能力.画图寻找两图象有两交点的位置是解题的关键，其次以平行线为依据或以个别特殊点对的斜率值作为解题的基本点.

六、分段函数的实际应用

    【例6】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．

(1)当时，求函数的表达式；

(2)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

   【解析】（1）由题意：当时，；当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得

故函数的表达式为=

   （2）依题意并由（Ⅰ）可得

当时，为增函数，故当时，其最大值为；

当时，，

当且仅当，即时，等号成立．

所以，当时，在区间上取得最大值．

综上，当时，在区间上取得最大值，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

    【评注】解决数学应用题的一般步骤：首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、解决，得出数学结论，最后再把数学结论回归到实际问题中去.