函数零点是联系函数与方程的桥梁，本文介绍了零点的几种基本题型.

    一、零点的定义

   【例1】 函数的零点是（    ）

    A.             B.            C.            D.

   【解析】由可得，故答案为A.

   【评注】（1）零点是一个实数，不是一个点；（2）求零点的实质是解方程，满足的实数，即为函数的零点.

    二、零点的个数

    【例2】函数的零点个数为          .

    【解析】由，得；由，得，的零点个数为2.

    【评注】根据零点的定义，的零点就是方程的根，所以方程根的个数就是函数零点的个数.

    【例3】 函数的零点的个数是________．

【解析】∵a>0，∴a²＋1>1.而y＝|x²－2x|的图象如图，∴y＝|x²－2x|的图象与y＝a²＋1的图象总有两个交点．

    【评注】 方程的解就是图象与图象交点的坐标，而中的就是方程的解.就是函数的零点,也就是图象图象交点横坐标,所以函数的零点个数就是图象与图象交点个数，这是求函数零点个数的常用方法.

    三、零点所在的区间问题

    【例4】 函数的零点所在的区间是（  ）

     A.              B.             C.          D.

    【解析】因为，，，

，所以，所以函数在区间内存在零点，答案为B.

    【例5】已知函数f(x)＝log_ax＋x－b(a>0，且a≠1)，当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x₀∈(n，n＋1)，n∈N^*，则n＝________.

    【解析】由于2<a<3<b<4，故f(1)＝log_a1＋1－b＝1－b<0，而0<log_a2<1,2－b∈(－2，－1)，

故f(2)＝log_a2＋2－b<0，又log_a3∈(1,2)，3－b∈(－1,0)，故f(3)＝log_a3＋3－b>0，

因此函数必在区间(2,3)内存在零点，故n＝2.

   【评注】求解此类问题的关键是根据零点存在性定理进行分析判断，即“在区间上函数是连续的一条曲线，且满足，则在区间内存在零点”

    四、由零点存在求参数范围

    【例6】已知函数f(x)＝2ax²＋2x－3.如果函数y＝f(x)在区间上有零点，则实数a的取值范围为________．

    【解析】若a＝0，则f(x)＝2x－3，f(x)＝0得x＝2(3)∉[－1,1]，不合题意，故a≠0.

    下面就a≠0分两种情况讨论：

    (1)当f(－1)·f(1)≤0时，f(x)在上至少有一个零点，即(2a－5)(2a－1)≤0，解得2(1)≤a≤2(5).

    (2)当f(－1)·f(1)>0时，f(x)在上有零点的条件是 解得a>2(5).

综上，实数a的取值范围为.

    【例7】已知函数f(x)＝2|x－2|，x>0.(|x2＋5x＋4|，x≤0，)若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．

    【解析】画出函数f(x)的图象如图所示．

函数y＝f(x)－a|x|有4个零点，即函数y₁＝a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a>0)．

当a＝2时，函数f(x)的图象与函数y₁＝a|x|的图象有3个交点．故a<2.

    当y＝a|x|(x≤0)与y＝|x²＋5x＋4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y₁＝a|x|的图象有5个交点，

    此时，由y＝－x2－5x－4(y＝－ax)得x²＋(5－a)x＋4＝0.

    由Δ＝0得(5－a)²－16＝0，解得a＝1，或a＝9(舍去)，

    则当1<a<2时，两个函数图象有4个交点．故实数a的取值范围是1<a<2.

    【评注】已知函数有零点（方程有根）求参数范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接求方程的根，再约束根的范围确定参数的范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化为求函数的值域问题进行解决；（3）数形结合法：先对解析式进行适当变形，然后在同一坐标系中画出函数的图象，进行观察求解.