定义域、值域、对应法则称为函数的三要素，在这三者中，对应法则是核心，定义域是关键，值域受定义域和对应法则共同制约；而一旦对应法则确定之后，定义域成为决定性因素，它影响着函数的值域、最值、周期性、奇偶性、单调性等等.因此，在解决函数问题时，应树立定义域优先考虑的原则.

一、确定函数的单调区间时应优先考虑定义域

【例1】已知在 上是减函数，则的取值范围是

  【错解】因为是由，复合而成，又＞0.故在[0，1]上是的减函数，由复合函数关系知应为增函数，故＞1.

  【剖析】解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了函数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在上有意义，导致错误.

   【正解】在错解的基础上还应该加上：又由于时 有意义，又是减函数，故＝1时，取最小值是＞0，故＜2.综上可知所求的取值范围是1＜＜2.

二、求函数的值域或最值时应优先考虑定义域

【例2】已知函数，其中常数. 求函数的最小值．

    【错解】由可知，函数的最小值是.

 【剖析】由得出最小值，虽然注意到均值不等式使用的前两个条件，一正、二定，但忽视了相等.由解得：，不一定在区间内，所以不能直接用均值不等式求最小值，需要讨论.

【正解】(1)当，即时，，当且仅当时取等号，此时，函数的最小值是.

  (2)当，即时，函数在上是减函数，则在是减函数.所以当时，函数最小值是.

综上可知：.        

三、判断函数的奇偶性时应考虑定义域

【例3】判断函数的奇偶性.

【错解】 因为＝

故   故是偶函数

【剖析】对于函数，如果对于定义域中的每一个，都有，则是这个定义域上的奇函数；如果对于定义域中的每一个，都有，则是这个定义域上的偶函数.所以，由奇函数、偶函数的定义知:有意义，必然有意义；有意义，必然有意义 ,即奇函数、偶函数的定义域关于原点对称.因此，在判定函数的奇偶性时，首先判定函数的定义域.

【正解】有意义时必须满足，即函数的定义域是，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数.

 四、求解函数的周期时应优先考虑定义域

【例4】求函数的最小正周期.

【错解】因为，则，即函数的最小正周期为.

【剖析】解题时，需要注意定义域对角范围的制约，因为有些三角函数的定义域，相对隐蔽，解题时往往被忽略考虑，造成错解.实际上不是的周期，因为当时，有意义，所以由周期函数定义可知应该成立，但是根本无意义，故不是其周期，错解的原因是忽视函数的定义域.

【正解】因为，且函数的定义域为，画出函数的图像，可得函数周期应为.

五、研究函数的实际问题时应优先考虑定义域

【例5】在一个交通拥挤及事故易发生路段，为了确保交通安全，交通部门规定，在此路段内的车速（单位：）的平方和车身长（单位：）的乘积与车距成正比，且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长均为（单位：）且当车速为50（）时，车距恰为车身长，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使在此路段的车流量Q最大？(车流量=)

【错解】由题意可得，将，代入得，则，

又将代入得，由题意得（）

将Q==（）

故当且仅当时，_，

综上所知，（km/h）时，车流量Q取得最大值.

【剖析】上述解法中结果虽然正确，但解题过程中是错误的，即虽然车速要求，但在行驶过程中车速有可能低于25（km/h），解题时忽视了定义域的不确定性，所以解题中应分两类情形求解，利用分段函数求解.

【正解】（1）依题意，，则

显然当时，Q是关于的增函数，则当时，

当时，Q==

当且仅当时，上式等号成立.

综上所述，当且仅当时，车流量Q取得最大值.

综上，实数a的取值范围为.

    【例7】已知函数f(x)＝2|x－2|，x>0.(|x2＋5x＋4|，x≤0，)若函数y＝f(x)－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．

    【解析】画出函数f(x)的图象如图所示．

函数y＝f(x)－a|x|有4个零点，即函数y₁＝a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a>0)．

当a＝2时，函数f(x)的图象与函数y₁＝a|x|的图象有3个交点．故a<2.

    当y＝a|x|(x≤0)与y＝|x²＋5x＋4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y₁＝a|x|的图象有5个交点，

    此时，由y＝－x2－5x－4(y＝－ax)得x²＋(5－a)x＋4＝0.

    由Δ＝0得(5－a)²－16＝0，解得a＝1，或a＝9(舍去)，

    则当1<a<2时，两个函数图象有4个交点．故实数a的取值范围是1<a<2.

    【评注】已知函数有零点（方程有根）求参数范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接求方程的根，再约束根的范围确定参数的范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化为求函数的值域问题进行解决；（3）数形结合法：先对解析式进行适当变形，然后在同一坐标系中画出函数的图象，进行观察求解.