小学数学教学中“数形结合”思想的
渗透与探究
王贻华
(安徽省六安市叶集区实验学校 78185592@)
摘 要:
“数形结合”是小学数学教材编排的重要原则,也是小学数学教材的一个重要特点,更是小学生解决问题时常用的方法。在小学数学教学中,不仅要重视“数形结合”的教学理念,更应重视“数形结合”的思维过程,以实现“数”与“形”跨领域验证教学。用“数”推理,在形象思维中引进逻辑思维,增进学生的研究结论的信度;以“形”解数,化抽象为直观。在逻辑思维中引进形象思维,增进学生对数学理解。
关键词: 小学数学;数形结合;思维
引言:
“数形结合”的小学教学中重要的思维过程,一方面可以训练学生的形象思维,另一方面可以锻炼他们多种方法钥匙的能力。本文侧重从“数形结合”的实际意义,如何做好“数形结合”等几方面加以探究。
一、“数形结合”的重要性
我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”而在十八世纪,数学家笛卡尔创建了几何坐标系,第一次实现了数形结合,引发了数学的革命。数学中数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系。在一定条件下数和形之间可以相互转化、相互渗透。虽然很多的专家学者对数形结合教学的进行了相关的研究,但他们的研究大量集中在中学的相关学科,对小学数学数形结合研究的较少,即使有研究,也大多局限于漫谈式或者以解题案例的方式出现,研究重视“数形结合”解题的过程,而忽视思维的心理过程。本文侧重从“数形结合”的实际意义,如何做好“数形结合”等几方面加以探究。
数形结合的优势
1、有助于发散思考
用图形进行思维可以说是数学家的思维特色。往往一个简单的图象就能表达复杂的思想,因此图象语言有助于数学思维的表达。在数学中,有时看到学生遇到难题百思不得其解时,如能画个草图稍加点拔,学生往往思路大开。究其原因就是充分发挥了图象语言的优越性。
2、有利于加深记忆
由于数学语言比较抽象,而图形语言则比较形象。利用图形语言进行记忆速度快,记得牢。用这种方式来表达事物是非常有益的。同时,由于图象是“形象”的,语言是“抽象”的,因此对图形的记忆往往保持得比较牢固。
二、图形结合的方法
数形结合的思想方法是数学学科里最常用的一种方法,它包含了转化、分类、方程等数学思想方法。可见数形结合思想方法是数学中具有综合性的思想方法。在平常的教学活动中如何让学生学到数形结合的方法。教师可以采用多种方式精心组织学生训练,让学生置身于具体的教学过程,才能在教师的引导下逐步领悟、理解和掌握。可以采用以下方式:
1、运用或联想实物。例如长方体的计算中,老师就可以拿出一个长方体的实物教具来,让学生独立体会和认识。
2、画图。
包括画线段图、示意图、面积图、点子图、集合图等。图1:在平等四边形与长方形正方形的关系,等式与方程的关系时,下图就能很好地说明它们之间的关系。
利用数轴。数轴是体现数形结合思想的一个重要方法。利用数轴,找到实数与数轴上的点的对应关系,让数与数轴这个“形”,紧密融合在一起。
图2:教学《小数大小比较》时,两个小数的大小比较,是通过这两个小数在数轴上的对应点的位置关系进行的。借助数轴让学生理解小数的大小,知道在数轴上越往后这个数越大,越往前这个数就越小。例如这样一道练习:
> ( ) > ( ) > ( ) > ( )>
在数轴上找出小于大于的小数以及能找出几个,这个练习借助数轴,让抽象的数学变得具体、形象。
3、几何模型。图3:教学“1---=”,对于小学生来说由于逻辑推理有一定的难度,如果采用几何模型进行教学,学生都轻松的掌握了。将上面的算式构造成下面的几何模型图,把一个大正方形看成单位“1” ,一次又一次地进行平均分,
从图上很容易看出1---=。运用数形结合思想方法可以把代数与几何沟通了,使形直观地反映数内在的联系,拓宽思路,把复杂问题简单化,从而快速又巧妙的解决问题。
对于数形结合的题型,我们提倡多种方式来渗透数形结合思想,要培养学生胸中有图见数想图,以开拓学生的思维视野。
三、如何训练学生进行数形结合
1、确定“先数后形”还是“先形后数”
在数形结合的教学过程中,应该慎重考虑“先数后形”还是“先形后数” 两者呈现的结果是不一样的,要把握好。数形结合思想的方法不是万能妙药,提高学生的抽象逻辑思维能力也是非常重要的,两者之间应平衡。
“数形结合”不仅是要把“数”的问题用“形”的方式加以表征,而且还要重视“形”的问题用“数”的方式加以推理。“形”的表达是有局限性的,而“形”借助“数”的推理则可以使数学走向无穷。
图4∶a个正方体拼成的长方体表面积以下正方体棱长均为1厘米,拼成的长方体的表面积是多少?
如果用a个正方体拼成这样的长方体,表面积是( )立方厘米。经初步思考,首先应允许学生用自己的方式求得四个长方体的表面积,其次可以引导学生发现表面积的增加规律。观察增加一个立方体后表面积的增加规律。如下图,每增加一个立方体,表面积增加4平方厘米。6+4(a-1)=4a+2
这个案例中,最为重要的一点是:学生能够脱离表象的依托,实现了从形→数→抽象规律,从而推断若干个正方体拼成的长方体表面积计算方法,在数学形象思维中借用了数学逻辑思维的力量。
2、以“形”解数,让解释更轻松
某些看似单纯的数量关系的代数问题,如果能注意到它所包含的几何意义,或者设计出一个与之相关的几何模型则可能找到新颖别致的解法,借助“形”使我们对问题本身不但有直观的分析,且能有更深刻和实质的了解。
图5:倍数问题:建筑工地运来水泥和大沙共300吨,其中运来水泥的重量是大沙的4倍还多20吨,建筑工地运来水泥和大沙各多少吨?对于这样的问题,小学生一时难以找到数量关系,弄不清楚这个 20 吨怎么办,是该加上还是减去,又该什么时候去加或减?而图示就是简洁的解释,孩子便豁然开朗了
当然除了这些长方形图、三角形图以外,常用的还有线段图等等,可以视小学生的习惯不同而选用。除了倍数问题,还有年龄问题,归一问题等等,都可以通过画图,给算式表征以解释。图形清楚地表达了思路,远比枯燥的文字叙述来得有效。
3、构建“数形”空间,把握跨领域教学度。
“数形结合”在具体施行时,常常是由“形”解释“数”,由“数”推理“形”,这给教学目标的达成带来了便利,给学生解题带来了全新的视角。在“数形结合”激发小学生数学思维中的跨领域行为中更应该把握“度”不能对小学生提出过高的要求。
4、鼓励学生尝试结合数形思维。
在教学数列求和:3+4+5+6+7+8+9+10时,许多教师使用首尾相加法。(3+10)+(4+9)+(5+8)+(6+7)=13×4=52。对于这种算法学生从纯数学的角度来说也不是完全不能理解。可是如果再扩展一步到更多的数列,他们就很难总结出一个完整的解决方法。图6:在教学这题时老师可以鼓励学生将3到10这列数想象成一堆圆木。同时把这堆圆木倒置过来,那么每一行之和就与首尾之和3+10相等。两堆共有7层,即(3+10)×7=70,而其中的一半便是(3+10)×7÷2。进而推广到n层,即1+2+3+……+n=(1+n)×n=÷2。完成推理过程。
四、结语
“数形结合”,在“形”的问题中引进逻辑思维,借助逻辑思维的力量把图形问题的视野推向“无穷”、走向“必然”在“数”的问题中引进形象思维,借助形象思维的力量把数量关系的分析揭示到“透明”,只有这样,才能以实现“数”与“形”跨领域验证教学。用“数”推理,在形象思维中引进逻辑思维,以“形”解数,在逻辑思维中引进形象思维,增进学生对数学理解,从而构建正确的“数形空间”思维方式。对于教育教学起到很好的辅助作用。
参考文献
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[3]刘伟:《小学数学“数形结合”思想方法在教材中的渗透》,《新课程学习》2010年8月。
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