三角恒等变换的三类常见问题
霍邱一中 张勇 邮编 237400
摘要 三角函数是每年高考必考知识点之一，与之相关联的试题灵活多变，但其解题方式都离不开借助公式对三角函数进行恒等变形。
关键词 三角公式变形 角的配凑 角的拆分 辅助角
近年来，许多同学面对三角问题时不知从何下手，下面就此简单介绍下与三角函数及恒等变换有关的常见问题及解题方法。
一、公式的逆用及公式变形
1、公式逆用
例1、求的值。
解：=
=
例2、求的值。
解：==
====。
2、公式变形
公式可变形为
来化简求值。
例3、求的值。
解：
=。
所以
=。
公式变形，三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
二、角的配凑与角的拆分
1、角的配凑
解决此类问题要求学生在对公式会灵活运用的同时，在解题前一定要观察好已知条件中所给角的关系：如，，等。
例4、已知，求的值。
解：由，得
因为，，所以，
则，
=
=。
2、角的拆分
在三角函数给角求值问题中，往往给的是非特殊角，特别是当题目中出现三个角时，有时其中一个角可以拆成两角和或差的形式。
例5、计算。
解：=
=====。
“凑角法”是解三角题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这种关系来选择公式。
三、辅助角公式
要研究的函数性质，常会用到下面提到的辅助角公式将其转化为的形式，再用三角函数的性质来解决问题。
对于一般形式的，我们可以将其利用三角恒等变换将其转化：
=，其中，这就是我们会经常用到的辅助角公式。
例6、求的周期，最值。
解：有辅助角公式的：，其中。
∴，最大值是2，最小值是-2.
三角恒等变换是三角函数的基础内容，具有一定的综合性和灵活性，在解题中最基本最常见的变换与方法有：一是公式变换，要注意正确理解公式中和差倍角的相对性，抓住公式中角、函数结构的特点，灵活地对公式进行正向、逆向及变形应用；二是角的变换，要善于分析角之间的和、差、倍、半的关系，要特别注意能否产生特殊角，合理拆配角。
参考文献：
[1]刘绍学主编.普通高中课程标准实验教科书.必修4.北京：人民教育出版社（A版）
[2]吕峰波，张喂忠.构造认知冲突，重视学生感悟—以课例“同角三角函数的基本关系”为例[J].数学教学研究，2010，（3）：2-4
作者：张勇
作者单位：安徽省霍邱县第一中学
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