例谈数学思想方法在小学数学解题中的运用

安徽庐江县盛桥镇中心小学　李斌

数学思想方法是对数学内容及其所使用的方法的本质认识。小学数学解题中会涉及到许多数学思想方法，重视这些数学思想方法的运用，能启迪学生的思维，培养学生的数学素养，使学生学会数学地思考问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。现举几例说明。

一、转化的思想方法

波利亚指出：“解题过程就是不断变更题目的过程。” 转化的思想方法就是在解决数学问题时，把那些陌生或难解决的问题，换一个角度去看，换一种方式去想，换一种叙述去讲，换一种观点去处理，使得陌生问题熟悉化、多元问题一元化、复杂问题简单化、抽象问题具体化、一般问题特殊化，朝着有利于解决问题的方向不断变更，从而使原问题获得解决。

例1：一辆汽车从甲地开往乙地，前两小时行了全程的，第三小时行了80千米，这时已行的路程与剩下路程的比是1:2。甲乙两地全长多少千米？

分析与解：根据题意，解题的关键是找到“第三小时行80千米”的对应分率，但题中条件是“已行的路程与剩下路程的比是1∶2”。这时，不妨将这一条件换一种说法，转化成“已行的路程是全程的=”，由此可知“第三小时行80千米”与（－）相对应。根据除法的意义，求出甲乙两地全长80÷（－）=720（千米）。

例2：父子俩的年龄和为63岁，父亲年龄的与儿子年龄的相等，求父子俩的年龄各为多少岁？

分析与解：把已知条件“父亲年龄的与儿子年龄的相等”转化为“父亲与儿子的年龄比是5∶2”，进而推出新的数量关系：“父亲年龄为父子俩年龄和的；儿子年龄为父子俩年龄和的；父亲年龄是儿子年龄的倍；儿子年龄是父亲年龄的”。这样，一经转化本是复杂的问题就变得十分简单。

父亲的年龄为：63×=45（岁）或63÷（1＋）=45（岁）。

儿子的年龄为：63×=18（岁）或63÷（1＋）=18(岁)。

二、对应的思想方法

对应是两个集合元素之间存在一种对应关系，未知问题中所描述的对象，在已知问题中都有与之一一对应的内容。小学数学中有元素与元素、数与算式、量与量、量与率等多种对应关系，解题时可以根据这种一一对应的关系，由已知问题去探索解决未知问题。

例3：一辆汽车，行驶75千米节约汽油5千克。照这样计算，再行驶525千米，一共可节约汽油多少千克？（用比例解）

分析与解：由题中条件可知节约汽油与所行驶的路程成正比例关系。节约汽油5千克与行驶75千米相对应，题中问题“一共可节约汽油多少千克？”所对应的路程是（75＋525）千米；而再行驶525千米所对应的是行驶525千米所节约的汽油。因此，如果“设一共可节约汽油X千克”，根据对应关系列比例式：=，可直接解得一共可节约汽油40千克。如果“设再行驶525千米可节约汽油X千克”，根据对应关系应列比例式：=，解得再行驶525千米可节约汽油35千克，再进一步求出一共可节约汽油35＋5=40（千克）。

例4：红星小学六年级四个班同学参加植树活动，已知六（1）班和六（2）班共植树202棵，六（2）班、六（3）班和六（4）班共植树318棵，六（2）班植树棵数占全年级植树总数的。六年级四个班同学共植树多少棵？

分析与解：要求六年级四个班同学共植树多少棵，关键是找到“六（2）班植树棵数占全年级植树总数的”的对应数——六（2）班植树的棵数，而根据题中条件又无法找到六（2）班植树的棵数。可以将六（1）班和六（2）班共植树202棵与六（2）班、六（3）班和六（4）班共植树318棵合并起来，得到202＋318=520（棵），这是2个六（2）班植树棵数与六（1）、六（3）、六（4）三个班植树棵数的总和，将全年级植树总数看作单位“1”，“520棵”与“1＋”相对应。所以，六年级四个班同学共植树的棵数是520÷（1＋）=400（棵）。

三、方程的思想方法

方程的思想方法是从问题中已知量和未知量之间的数量关系入手，运用数学的符号语言在已知量与未知量之间建立一个等式（方程），然后通过解方程来使问题获解。小学数学解题中，有些问题逆向思考起来思路不够顺畅，有时甚至不容易解，可以抓住题中数量之间的等量关系，用方程的思想方法来解决，会收到意想不到的效果。

例5：徒弟加工零件45个，比师傅加工零件个数的多5个。师傅加工零件多少个？

分析与解：题中以师傅加工零件个数为单位“1”，用算术方法思考，不少学生往往思路模糊，不知如何解答。其实，用方程的思想来思考，便能很容易地找到题中的等量关系：师傅加工零件个数×＋5个=徒弟加工零件45个。设师傅加工零件X个，可列方程：X＋5=45，解得X=80。

例6：打印一部书稿，王师傅单独工作15天可以完成，李师傅单独工作20天可以完成。两人合作6天后，剩下的由李师傅继续完成，李师傅还要工作几天才能完成？

分析与解：把这部书稿看作单位“1”，由王师傅单独工作15天完成，可知王师傅单独工作每天可以完成这部书稿的；由李师傅单独工作20天完成，可知李师傅单独工作每天可以完成这部书稿的；两人合作6天完成这部书稿的（＋）×6。设剩下的由李师傅继续完成还要工作X天才能完成，可列方程：（＋）×6＋X=1，解得X=6。

四、类比的思想方法

G·波里亚说过：“类比似乎在一切数学发现中有作用，而且在某些发现中有它最大的作用。”类比思想方法就是根据两个或两类对象的相同或相似方面来推断它们在其他方面也相同或相似，是一种从特殊到特殊的思想方法，它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。小学数学解题中，可以从结构特征、数量关系、情节内容等方面把需要解决的生疏问题与已经熟悉的问题进行类比，从而丰富认识，启迪思维，明确探索方向，迅速找到解决问题的途径和方法。

例7： 一块布料，可做10件上衣或15条裤子。如果配套裁剪，可以做多少套服装？

分析与解：题中既不知有多少布料，又不知做一件上衣和一条裤子需要多少布料，看似无从下手。如果把这块布料理解为总工作量，把这块布料可做10件上衣或15条裤子理解为甲乙两人完成总工作量所需的时间，这样类比，此题就与“一项工程，甲队独做10天完成，乙队独做15天完成，两队合做多少天可以完成？”有着同样的特征。由此可得配套裁剪这块布料可以做1÷（＋）=6（套）服装。

例8：甲、乙两校共有学生2200人，甲校人数的与乙校人数的共930人。甲、乙两校各有学生多少人？

分析与解：题中数量关系比较复杂，仔细观察分析，其结构与“鸡兔同笼”问题非常相似：鸡和兔——甲校学生和乙校学生，头的总数——学生总数2100人，腿的总数——甲校人数的与乙校人数的共930人，鸡、兔各几条腿——甲的和乙的。这样一类比，就可以按照“鸡兔同笼”问题的解题思路来解决所求的问题：

甲校学生：（2200×－930）÷（－）=60÷=1200（人）；

乙校学生：（930－2200×）÷（－）=50÷=1000（人）。

五、逆推的思想方法

逆推的思想方法就是从题目的问题或结果出发，根据已知条件一步一步进行逆向推理，逐步靠拢已知条件，直到解决问题。小学数学解题中，有些问题顺向思考，很难理出头绪来，而利用逆推思想方法进行分析，就像剥笋一样，一层一层深入，可以使问题很容易获得解决。

例9： 一捆电线，第一次用去的比全长的多8米，第二次用去的比余下的少10米，还剩22米没用。这捆电线原有多少米？

分析与解：由“第二次用去的比余下的少10米，还剩22米没用。”，可以想到：假如第二次用去的正好是余下的，那么剩下的就应该是(22－10)米，而这个(22－10)米也正好是余下的另一半，由此可以先求出余下的米数是(22－10)÷ =24（米）。再继续倒推，由“第一次用去的比全长的多8米”可以想到：假如第一次用去的正好是全长的，那么余下的就相当于全长的（1－），而此时余下的就应该是（24＋8）米。由此可以求出这捆电线原有（24＋8）÷（1－）=48（米）。

例10： 今有甲、乙、丙三堆棋子共98枚。先从甲堆中分棋子给另外两堆，使得两堆棋子数各增加一倍，再把乙堆棋子照这样分配一次。最后把丙堆棋子也这样分配。结果甲堆棋子数是丙堆棋子数的，乙堆棋子数是丙堆棋子数的。问甲、乙、丙三堆棋子原来各有多少枚？

分析与解：虽然多次重新分配，但甲、乙、丙三堆棋子共98枚没有改变，因此，可以先计算出三堆最后各有多少枚棋子。丙堆棋子数是98÷（1＋＋）=30（枚），甲堆棋子数是30×=24（枚），乙堆棋子数是30×=44（枚）。然后按三堆倒回去就可以求出甲、乙、丙三堆原来各有棋子多少枚。为了方便，可以利用表格表示每次倒推的情况。

所以，甲堆棋子原来有棋子52枚，乙堆棋子原来有棋子30枚，丙堆棋子原来有棋子16枚。