作者简介：

吴佑华（1962-），男，江苏省南通市通州区兴仁中学高级教师，大学本科，研究方向：中学数学智慧教育、中（高）考数学命题（226371）.

《数学教学研究》(兰州)2018年第20185期 第2-9，14页

内容提要：

文章提出促进学生的数学学习从浅层走向深度的途径主要包括：理解教材，研究学生，确立适切深度目标；创设情境，培养兴趣，激发深度学习欲望；变式教学，注重过程，提供深度学习机会；反馈评价，引导反思，提升深度学习价值.

关 键 词：

深度学习/课堂教学/数学学习 

标题注释：

【基金项目】江苏省教育科学“十三五”规划2018年度重点自筹课题“促进初中数学课堂深度学习的校本行动研究”（课题编号：E-b/2018/08）；南通市教育科学“十三五”规划2017年度“中小学教学研究”专项课题“基于智慧生成的初中数学课堂深度学习策略研究”（课题编号：2017NTJY12-50）.

期刊名称： 《初中数学教与学》

复印期号： 2019年03期

    在21世纪核心素养中，深度学习能力是公民必须具备的生活和工作能力，发展深度学习是当代学习科学的重要举措，是深度加工知识信息、提高学习效率的有效途径.深度学习也称深层学习，是美国学者Ference Marton和Roger Saljo创造性提出的学习方式，最早源自人工神经网络的研究.所谓深度学习是指建立在浅层学习之上，能够帮助学习者进行有意义的学习，用于培养学习者高阶思维能力，促进知识记忆与迁移，解决非结构化问题的能力、方法和策略.[1]深度学习理论认为，浅层学习对应知道、领会的认知水平，属于低阶思维活动，注重外力驱动的学习和知识的重复记忆、简单描述、强化训练；深度学习对应应用、分析、综合、评价的认知水平，属于高阶思维活动，更注重自主参与的学习和知识的理解、应用.[2]中学数学学习所历练的并不是与人无关的枯燥的符号与规律，而恰恰是引领我们如何探究和发展的意义世界，学会如何用数学的眼光观察世界——发展数学抽象、直观想象素养；用数学的思维分析世界——发展逻辑推理、数学运算素养；用数学的语言表达世界——发展数学建模、数据分析素养.这些素养——实质上就是数学核心素养的养成离不开学生对数学的深度学习.深度学习，倡导学习像呼吸一样自然，关注学生学习的自然发生，直接指向学习的本质，让学习真正发生.[3]在这个过程中，学生能够掌握数学的核心知识，学会主动思考，逐步提高解决问题、发展批判性思维、创新能力以及学会学习等认知策略，使学生的数学思维逐步由易到难、由浅入深，举一反三，从而能够让学生的学习潜能得到培养与开发.而综观我们的数学课堂教学，不难发现，数学教学活动往往浅尝辄止，只是简单地学习一些表面的知识，而忽视了让学生了解这些数学知识中隐藏的逻辑，缺乏一定的思维深度，使学生的思维始终处在“浅层活动”，学生中或多或少的存在着“一听就会，一看就懂，一做就错，一过就忘，一考就晕”的情况，究其原因，学习没有用心，学习缺少思考，学习滞留在浅层学习的状况，要改善这种状况，就要学习、掌握、推广深度学习.如何教学深度学习，让数学课堂学习真正发生呢？我们的做法与体会是：①理解教材，研究学生，确立适切深度目标；②创设情境，培养兴趣，激发深度学习欲望；③变式教学，注重过程，提供深度学习机会；④反馈评价，引导反思，提升深度学习价值.由此促进学生的数学学习从浅层走向深度.

    一、理解教材，研究学生，确立适切深度目标

    1.理解教材，把握知识点的预设要求

    数学教材作为呈现数学知识的载体，是服务于教师的“教”并最终服务于学生的“学”的.教师在其中的作用在于“用”好教材，教师对教材的使用，体现了教师自身的教学经验与教材设计者的意图互动的水平.其中，教什么、教到什么程度，是教师必须要思考并回答的问题，特别是关于新知识教到什么程度，即关于新知识的教学要求，是教师教学设计时必须解决的问题.牛顿曾经说：“我之所以能取得这微不足道的成绩，是因为我站在巨人的肩膀上.”作为一名数学教师，必须充分认识到理解教材是上好课的第一步.一本数学教材凝聚了教材设计者的心血和期望，蕴含了他们对中学数学教育、教学的理解和认知.如果把教材设计者比作巨人的话，我希望我们能爬上巨人的肩膀，能从他们的立场去分析教材，理解教材.[4]

案例1 对教材“正数和负数”“有理数加法法则”预设要求之我见.

    人教版（2012版）数学教材七年级上册第一章第一节“正数和负数”，这一节共分两个课时.第一课时教材通过列举一些示例，直接陈述了正、负数概念.此外，以例题的形式讲解了如何把意义相反的量统一起来，即借助负数把“减少”表述为“增长”.例如减少2.7%可以表述为增加-2.7%.第二课进一步以实例说明正、负数可以表示“具有相反意义的量”.如何把握第一课时中借助正、负数把意义相反的量统一起来的认识程度？由于教材是以例题，即讲授的形式示范怎样把“减少”表述成“增加”，而没有设置让学生亲自参与的栏目，可见教材是让学生直接接受这样的事实，知其然，但并没有解释其中的道理.另外，从文字的表示形式上看，课本对“正数”“负数”这两个概念名称没有像后面的“有理数”“相反数”等概念用蓝色黑体表示，而是与正文一样不加区别的使用宋体，因此，从学生参与这一知识学习方式与概念名称的字体、颜色表示方式可以推断，教材预设的要求是了解水平.

    在本册教材“有理数的加法”一节，在建构异号两数相加和互为相反数的两数相加的法则时，需要经历两个阶段：一是从情境中抽象出具体算式，这一过程是法则形成的感性认识阶段；二是根据算式进一步抽象概括出法则，这一过程是法则形成的理性认识阶段.我们知道，没有感性认识就很难形成理性认识.超越感性认识阶段，自然会导致死记硬背知识.分析教材可以发现，在第一阶段，教材设立了探究栏目，让学生通过探究过程，从情境抽象出具体算式.这一过程对学生形成感性认识至关重要.在此基础上教材进一步直接陈述了异号两数相加和互为相反数的两数相加的法则.由此可见，教材预设的教学要求，不仅要让学生知其然，还要让学生知其所以然，达到深刻理解加法法则的程度.因此，我们可以推断，教材关于有理数加法法则的预设要求是理解水平.理解教材的每一课时预设的教学要求是教师制定教学目标的前提.虽然，《义务教育数学课程标准（2011年版）》《义务教育教科书•数学（教师教学参考用书）》中，针对每一个具体知识点的教学要求都分别用“了解”“理解”“掌握”“应用”四类动词进行了明确描述，但在日常教学活动中，教师把控其具体的教学要求却依然比较困难，往往出现教学“不到位”或“过度”的现象.为此，深度理解教材显得格外重要.[5]

    深度理解教材，把握教材，我们可以从以下几个方面入手：①从厘清目标入手，理解教材，把握教材.教学目标是一节课的着眼点和落脚点.一节课只有实现了教学目标，才算成功.②从理清知识发生发展入手，理解教材，把握教材.知识的发生、发展过程是学生学习数学的灵魂.只有学生经过了此过程，才能学到真正的数学知识，数学能力才能得到提高.教师只有知道知识的发生、发展过程，才能去设计教法与学法.③从理解编者的意图入手，理解教材，把握教材.教材渗透了编者的心血，体现了编者按照《义务教育数学课程标准（2011年版）》的设计思路与想法.所以，教师在教学前，要钻研教材，理解编者的想法与寓意.只有如此，教师才能准确把握教材，游刃有余地进行教学.④从弄清知识特点来理解教材，把握教材.知识的特点，决定教学方法，必须精心设计教法.[6]

    2.研究学生，确立适切深度学习目标

    班级学生的学情是影响学生深度学习的关键因素.学生的起点水平是教学的出发点，为了弄清教学的这种出发点，应深入分析学生学习新知识时已具备的知识基础、技能、思维基础、经验基础以及数学学习心向.分析学生学习新知识时的知识基础是为了了解、判断学生原有认知结构的状态，及时唤醒与新知识相关联的旧知识，把待学的新知识内容与学生的认知结构中原有的知识系统建立实质性的联系，找出学生对当前数学学习内容的“最近发展区”.因此，在备课中，不仅要理解教材，而且要备学生，研究学生，对照教学内容来确定教法，确定教学流程.这样的备学能够将教材与学生统一起来，形成一个有效的整体，让教学效率得到提升.[7]

    案例2 一次勾股定理（第一课时）教学目标的备课活动.

    南通市通州区兴仁中学初二数学备课组集体备课开始了.主备人徐亚楠老师首先介绍她关于勾股定理教学目标的备课分析：

    第一，关于学生情况：我班基本情况分析以前介绍过，这里略.下面介绍学生的认知情况.

学生知识技能基础：学生在先前的学习中已经掌握了直角三角形的有关性质，能够从角的层面刻画三角形的特征；学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法）.

    学生活动经验基础：学生经历过一些拼图、图案设计的动手操作活动，也利用直观的手段探索过图形的性质，因此对图形的探索、验证具备了一定的观察、归纳、探索和推理的能力.

    我班学生实际情况：学生虽在小学已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还不够，因此，教学中可能还需要我们教师有意识的引导.

    另外，八年级的学生才经过一年的图形与几何的学习，观察、归纳、推理的能力还有限，需要我们教师精心设计相应的活动，引导学生探究结论.

    第二，关于《课标》与教材要求情况：《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求：探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.

    教材要求：①经历探索、验证勾股定理的过程，了解勾股定理的各种探索方法及内在联系，进一步发展推理能力；②掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.

    接着，备课组长田向红补充介绍关于勾股定理的教学价值.勾股定理的历史资料非常丰富，应在历史资料的阅读与分析中确定勾股定理的教学价值：①勾股定理，是平面几何有关度量的最基本定理，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征；②勾股定理的探索和证明体现数形结合；③勾股定理导致无理数的发现，引发数学史上的第一次数学危机；④勾股定理可以看作第一个不定方程，为不定方程的求解提解供了范式.

    鉴于上述的分析，备课组集体讨论，达成共识，建议勾股定理（第一课时）教学目标进行适当改进，最后确立了如下三条深度学习目标：①经历用拼图探索勾股定理的过程，提高合情推理能力，体会数形结合的思想；②理解并掌握勾股定理，能运用勾股定理解决一些实际问题；③通过阅读勾股定理的历史，体会其文化价值，提高学习数学的兴趣和信心.

    学情调研的内容可包括：①学生已有的知识技能基础，如对本单元或本节内容学生已掌握和运用的情况；②学生的学习困难，如学生在知识运用和技能学习方面存在的困难.学情调研的方式可以是问卷调查、前测以及访谈等.做好了学情调研，教师就掌握了大量鲜活的关于本班学生的信息，为后面的目标设计、过程设计及评价设计提供依据.我们要在教学设计中通过多种方式进行学情调研，优化教学设计.在教学实施中还应该通过观察和倾听做学情调研，调整教学预设.在课后通过学情调研了解教学效果，调整教学设计.[8]

    二、创设情境，培养兴趣，激发深度学习欲望

    1.创设情境，激发深度学习数学欲望

    数学学习过程中，教师根据自身对于学生实际状况的认知以及教学的基本内容进行情境设置，可以将数学知识与学生的生活实际高度地融合在一起，使其在学习过程中激发起学生的好奇心，提高学习主动性，增强研究问题的动力，积极主动地参与到深度学习中，从而提高学生的数学思维能力，是一种促进深度学习的教学手段.

    案例3 “无理数”的教学情境设计.

    一位教师在进行“无理数”内容的教学时，先将学生们划分为小组，然后组织各个小组的学生们开展拼图游戏.教师先让学生们自行剪出两个大小相等边长同为10厘米的正方形，并用这两个图形随意地进行剪拼，组成一个大的正方形.这时候教师可以对学生进行提问：这个大的正方形的边长是多少？边长是整数值还是分数？每个小组拼接的情况不同，可以在小组内部进行讨论，再根据不同的拼接情况分别记录数据.在这个过程中，教师注重观察学生们的研究过程，从而引导学生们得出结论，这个正方形的边长并不是整数也不是一个分数，而是一个有着无限位数的非整数，从而引出“无理数”的概念.在研究过程中，学生们发现从来没有接触过这样类型的数字，产生了数学方面的困惑，对于这节课的学习内容更加好奇.认知矛盾的情境的创设，为学生们的深度学习奠定基础.[9]

    情境教学本身就伴随着一种情感体验，它可以让孩子们表现出对知识的渴望、对客观世界的探索欲望.如果教师能在课堂上创设各种有效的学习情境，就能感受到学生的学习因情境的创设而显得丰富多彩，从而能有效地发挥学生的主体作用.这种教学策略可以在一定程度上提高教学的质量和学生的学习效率.我们可以：①创设“生活”情境，让学生在生活中感知数学；②创设“游戏”情境，让学生在“玩”中体验数学；③创设“做”的情境，让学生在“做”中内化新知；④创设“用”的情境，让学生在“用”中拓展延伸；⑤创设“疑”的情境，让学生在“疑”中发现问题；⑥创设“辩论”情境，使学生在“辩论”中明晰概念；⑦创设“猜想”情境，使学生在验证猜想中获取新知.由此，激发学生深度学习的欲望.[10]

    2.培养兴趣，激发深度学习欲望

    兴趣是指个体以特定的事物、活动及人为对象，所产生的积极的和带有倾向性、选择性的态度和情绪.每个人都会对他感兴趣的事物给予优先注意和积极地探索，并表现出心驰神往.姚明对篮球产生了强烈的兴趣，所以才会关注篮球，才会为篮球倾注热情、付出努力.“生活中的数学实践活动不仅可以让学生感到数学生动有趣，更能让学生增强学好数学的信心.”这是我校数学组老师形成的共识.

    案例4 一位老师结合生活实践教学轴对称图形.

    一位老师在教学轴对称图形时，刚开始，就出示了两架纸飞机.问谁愿意制作一架纸飞机与我比一比，看谁的飞机飞得又高又稳，而且飞得时间长.同学们争先恐后制作起来，都想与老师一较高低，可是通过一次次较量之后都输了……那么是什么原因呢？细心聪明的孩子开始寻找原因，终于有同学有了发现，说：“我们制作的纸飞机翅膀两边的形状和大小不完全一样，老师的纸飞机两边的翅膀大小形状都一样，是不是问题就出在这里呢？”我鼓励学生到讲台前面来仔细地看看，同学来到讲台前沿着中间一对折，发现老师制作的飞机两个翅膀完全一样.这时老师告诉同学们：像这样对折后两边的翅膀完全一样的图形，叫做“轴对称图形”，这个中间折的痕迹叫做“对称轴”.你知道的对称图形还有哪些呢？老师通过游戏引入新课的内容，让学生发现问题，掌握知识.这样的教学设计可谓是生动有趣，有效培养了学习数学的兴趣.

学生的数学学习兴趣，对深度学习数学起着十分重要的作用，是学好这门学科的一个重要前提.因此，在数学教学中，我们数学教师应通过各种合理的渠道，来培养和激发学生的学习兴趣，最大限度地提高学生的学习积极性和主动性，这样，才能提高学生的数学成绩，使学生带着浓厚的兴趣学好数学.我们可以通过：①以著名的名人与趣事，培养学生学习数学的兴趣；②利用学生好奇心理，调动学生学习数学的兴趣；③以揭示数学之美，诱发学生学习数学兴趣；④以开展形式多样的竞赛活动及游戏，提高学习数学的兴趣.[11]

    三、变式教学，注重过程，提供深度学习机会

    1.变式教学，促进数学学习真正发生

    变式教学作为一种传统和典型的数学教学方式，不仅有着广泛的经验基础，而且也经过了实践的基础.无论是数学新授课的教学，还是数学复习课教学，选择变式教学，都是非常必需的.数学中的变式往往通过问题情境或思维角度的不断变化使得事物的非本质属性不断迁移与变化，但其本质属性保持不变.变式教学是教师引导学生从“变”的现象中发现、探索，并因此总结出事物“不变”本质的过程，此过程中一般会有所改变的是概念的非本质特征、问题的条件或结论，以及转换问题的形式或内容等.教师通过变式教学有意识地把教学过程转变为学生的思维过程，让学生多角度地理解数学概念（定义）、数学定理（公式），层层深入的进行数学学习，培养学生学习数学的积极性和主动性，进而培养了他们独立分析和解决问题的智慧，著名学者顾泠沅先生喻之为“促进有效的数学学习的中国方式”.[12]

    案例5 关于三角形三边关系定理教学的变式.

    一位教师围绕三角形三边关系定理进行一系列三角形问题的设计，在引导学生变式与解决中达到巩固知识点以及深度理解概念的目的.

    题目 一等腰三角形中，腰长是5，底边长是6，求周长.

    学生很快获解，周长为16.

    教师适时提出变更概念非本质特征的要求，引导学生尝试改变问题的条件与结论，学生思考如下：

    变式1 一等腰三角形中，腰长是5，周长是16，求底边长.

    变式2 一等腰三角形的一边长是5，另一边长是6，求周长.

    变式3 已知一等腰三角形，一边长为5，另一边长为16，求周长.

    变式4 已知一等腰三角形，腰长为x，设其底边长为y，则y的取值范围如何？

    变式5 已知一等腰三角形，腰长为x，底边长为y，周长为16，试用含x的代数式表示y.

    从学生思维发展的轨迹这一角度来进行整个变式教学的分析，不难发现变式1是对学生逆向思维能力的锻炼；变式2中增添了分类讨论的思想与内容，解题思考时应做出一定思维策略的改变，分类思想这一重要的数学思想方法在此变式过程中得到了很好的渗透；变式3中将“5”与“16”比较分析，根据三角形两边之和大于第三边这一定理可得“5”肯定是底边长，学生思维严密性得到锻炼的同时还巩固了三角形三边关系定理的掌握与运用；变式4的要求更高，教师应引导学生搞清楚问题解决的关键在于对题中条件0＜y＜2x的理解与运用，层层变式的问题使得学生对于三角形三边关系的认识与理解又深了一步，学生从特殊到一般、从具体到抽象地分析与解决问题的能力也在层层变式中得到了很好的锻炼；变式5中蕴含函数思想，学生学习数学的系统观与整体思维都在这些变式中得到了极有意义的锻炼.问题一步一步地变化，分类讨论思想、数形结合思想、函数思想等思想方法在这些有意义的变式中得到了很好的渗透.[13]

    以上变式，学生的思维活动使他们对于事物的本质属性与非本质属性产生更好的理解与区分.过程性的变式教学使得学生思维定势的形成、突破与转变都变得更加轻松，思维的灵活性与严谨性同时在变式教学中得到了有力的提高，探索与思考的意味充斥其中，数学素养在潜移默化中提升.怎样的“变式”才有效呢？笔者认为：于概念（定义）的引入、定理（公式）的发现处有效变式，于概念辨析、易混易错处有效变式，于网络梳理、整体构建处有效变式，于纵横联系、发散思维处有效变式，于联想引申、类比拓宽处有效变式，可以实现为数学课堂生成智慧的目标.[14]

    2.注重过程，提供课堂深度参与机会

    在数学教学的过程中，要注重知识的形成过程.数学教育家马明先生曾说“数学教学的本质是思维过程，是展示和发展思维的过程”.正如教科书通过最简洁的叙述，从引入，创设问题到抽象概括逐层次的给我们展现知识.这正是发现问题、解决问题、归纳总结的过程.因此，要把那种“轻过程、重结论”的注入式教学，变成“让学生易于参与知识形成过程的教学”，亲自经历知识发生过程——概念的形成过程，定理的发现过程，规律的探索过程，解题的思考过程，以促使学生的高阶思维发展，培养其独立思考和解决问题的能力.

    案例6 一位老师教学“正弦”概念的手记.

    概念学习的最好方式是自己去发现，学生在老师创造的情境中作为“发现者”，经历了发现问题→分析问题→得出结论→导出概念这个概念的形成过程，在体验自己发现知识的乐趣的同时，也实现了低阶思维向高阶思维的飞跃.

    在教学“正弦”概念时，我为学生创设了这样的情景：“假设你是园艺工人，现要修筑一座喷水站，为坡地的绿植进行灌溉，并从山脚下沿山坡铺水管，在确定铺设水管长度时遇到了难题，已知为了确保喷射的广度，要求喷射口的高度BC=10m，并测得斜坡与水平面所成角度为∠BAC=30°，请确定所需水管长度.”学生说运用勾股定理可以解决，此时我补充说：“如果令∠A=20°该如何做呢？”此时现实与学生的已有认知产生了冲突，让学生感到迷茫，同时也激发了其探究的兴趣.我引导学生：“你们还记得在Rt△ABC中∠A的斜边和∠A的对边BC的关系吗？当∠A取30°、45°时，我们发现∠A的对边BC分别是∠A的斜边的 .”这时有学生说：“∠A取值不同时，∠A的对边BC与∠A的斜边比值不同.”我说：“很好，那我们用几何画板看看当∠A取一般值时会怎样.”在观看完动态演示后，学生大胆猜测：“当锐角A取固定值时，∠A的对边与斜边的比值也是固定值.”我欣慰地说：“那你们通过相似三角形验证一下你们的结论吧.”最后引出了“正弦”的概念.这里，老师构建“正弦”概念产生与发展的思维情境，使得学生在解决问题中实现低阶思维向高阶思维的发展，在类比迁移中经历“正弦”概念的形成过程，由内而外地深度理解概念“正弦”的内涵.

    数学教学中，基于知识发生去理解数学概念的构建、知识的应用与数学探究，可以建立以思维发展为主线的数学教学思路，从而促进数学的深度学习.我们的策略是：①帮助学生完成知识的内化，培养学生的常规思维能力；②帮助学生掌握概括学习的方法，培养学生的总结思维能力；③帮助学生从多角度进行思考，培养学生的创新思维能力，从而提升学生对数学问题的分析能力和解决能力.[15]

    四、反馈评价，适时反思，提升深度学习价值

    1.反馈评价，优化数学深度学习策略

    反馈是控制论的一种重要基本原理.它指的是一个控制系统，先把信息输送出去，最终再将信息传递的结果给反馈回来，并且去为整个控制系统提供意见，以此起到控制作用.评价是改进教学的催化剂，评价可以直接或间接地测量学生深度学习能力，促使教师有意义地教；而深度学习能力往往需要借助于真实情境的表现性评价进行评估.通过真实的评价，表现出学生内隐的能力，使不同层次的学生在原有水平基础上其能力得到发展.[16]

   案例7 一道解方程作业题的解法反馈片段.

    课堂上，一位教师让学生解方程0.5x=12.5，随即及时反馈交流.

    第一位回答的是一名后进生，他说：这个问题不难，根据小学关于乘法逆运算的道理便有 .

    第二位回答的是一名中等生，她说：可以按照课本解一元一次方程的步骤，“两边同除以未知数的系数”，有

    第三位是一名优等生，他说：两边同乘以2，有

    x=12.5×2=25.

    对于三位同学的解法，应用的两个依据都无可挑剔，结论也完全正确.但是，面对天真烂漫的孩子，在肯定他们的成功解法同时，老师进行如下点拨：

    师：两边除以未知数系数的目的是什么？

    生：使未知数的系数变为1.

    师：其依据是什么？

    生：等式的性质2.

   （学生立即就能想到：两边同乘以2，有x=12.5×2=25）

    前后两种处理，用到的是同一个“等式的性质2”，但境界已经完全不一样，前者停留在“学会”的水平上，后者已经上升到“会学”的层次.不仅如此，理解了解题步骤的实质之后，教者又提出下列问题：

    变式1 解方程0.25x=12.5.

    变式2 解方程0.125x=12.5.

    这一次，第一位学生说：对于变式1，方程0.25x=10.5两边乘以4…

    第二位学生说：对于变式2，方程0.125x=12.5两边乘以8……

    两位学生在这里真正拥有了“会学”的智慧.

    反馈策略让学生在比较自己的解法和别人的解法的过程中，学会放弃，学会选择，不同学生的认知水平和学习能力都可以在原有的基础上获得相应的发展，从而达到生成“会学”的智慧.教学常用反馈策略有：①讲课时，教师密切关注学生的情绪，随时收集反馈信息，对讲解内容随时作出修改、补充或删减；②提问学生时，及时评价学生的回答，给以引导与鼓励；③学生练习时老师巡视，了解学生的疑难所在，及时点拨；④学生讨论时，加入学生的学习小组，一起参与互动；⑤学生作业及时批改、讲评，使学生及时发现问题并加以订正；⑥学生考试后及时批改、统计和讲评，肯定成绩，指出不足，及时弥补，确定努力方向.由此，“快反馈”教学策略可以让学生生成“会学”的智慧.[17]

    2.引导反思，提升数学深度学习价值

    数学反思性思维是数学思维中极为重要的品质，荷兰数学教育家弗赖登塔尔强调指出“反思是数学活动的中心”，关于数学反思性思维的研究对个体和社会的发展都发挥着重要的作用.第一，它有利于培养个体发现问题、解决问题的能力；第二，数学反思性思维有利于发展学生的质疑精神，培养其创造性思维能力；第三，数学反思性思维有利于学生形成严谨的思维品质和求实的科学态度.学生无论是在做题还是在学习，他都需要进行反思，这样能够使得自己更快进步.而学生刚开始可能不知道怎样去反思，那么教师在教学过程中就要去进行引导，能够让学生在学习的过程中利用好反思，可以加深他们对知识的理解，使得他们能够及时改正错误，从而为后来的学习奠定基础.从而使得自己的数学进步更加快.

    案例8 关于一道题解法错误思维过程反思.

    题目 如图1，已知正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD，AD上滑动.当DM=________时，△ABE和以D，M，N为顶点的三角形相似.

    学生在求解此题时最常见的错误就是漏解，因此，教师发现学生的这一错误现象时，首先做的就是引导学生并彻底暴露错误思维过程，对自己漏解的原因进行反思和讨论.

    生1：从图1直接联想题中所给图形确定相似三角形对应边的关系导致我解题时漏解了，其他情况也就被忽视了.

    师：像生1解题时漏解的这一因素应该怎样预防呢？可否在题中条件中得到相关提示呢？

    生2：题中“在CD，AD上滑动”这一条件告诉我们图象是动态的，因此应伴随△MDN的形状变化进行分类讨论.

    生3：我把△ABE和以D，M，N为顶点的三角形相似这一条件理解成了△ABE～△NDM，因此只考虑到了一种对应关系并解题漏解了.

    生4：我知道应该要作分类讨论，但另一种情况是怎样的我无法画出，所以解题出现了漏解.

    生5：我的计算能力在涉及根式与比例式的运算时有点不足导致计算发生了错误.

本题的解答中，学生在理解题意时不能准确把握“动”和“静”、“瞬间”和“过程”之间的辩证关系导致特殊情况被理解成了一般情况，漏解也就不足为奇了.因此，教师在实际教学中应使学生明白动态图形的解决一般都会需要分类讨论，动中取静、以静制动、动静结合的方法是解决运动型问题的常用方法，要引导学生对自己出错的原因进行探寻和表达，使学生能够在回顾、分析、检查自己思维的过程中不断培养自己思维的严谨性.

    这里，学生所犯错误被教师准确捕捉、激活并进行巧妙地运用，并让学生彻底暴露错误思维过程，学生所犯错误就会变成课堂教学中具备独特教育价值的有效资源.学生的思维认知经历了“自我否定”的过程，真正对发生错误的原因进行反思与探究，并因此在逐渐探触问题的本质的过程中不断改进、完善自己的认知结构.

    教师应经常引导学生通过反思自己的学习动机和学习策略，使学生能够对自己的情况有整体的了解，并从教师的评价、指点中得到启发.作业后，可有意识地就如下问题与学生进行交流：“对这次作业，你有什么感受？”“你有什么办法能使这次作业完成得更好？”“完成作业后，你发觉自己学到了什么？”等，让学生反思自己对知识的掌握是否达到要求，哪些是欠缺的，哪些是更新的知识，学生在反思中将知识进行归纳、总结.[18]

    五、结束语

    随着信息技术的进步，信息技术支持下的深度学习正在蓬勃发展.这对深度学习的研究提出了更高的要求.我们应该跳出传统课堂对学习者思维的限制，大力促进网络环境下深度学习的发展，采用多元的学习工具与技术开展深度学习活动.鼓励学习者多元化地选择促进深度学习的工具，将知识与技术相结合，为每一位学习者提供持续的知识与信息，使学习者能够清楚地了解、批判地思考自己的学习进度和目标.鼓励学习者多维应用网络技术培养高阶思维能力，灵活应用多种学习工具，发展深度学习能力.[19]深度并非一味地求深、求难，而是追求让学生体验并感悟参与的幸福、思考的深刻、引领的扶持与拓展的顺畅.深度是对学习张力的一种引领，深度是对学习定力的一种肯定.深度学习，就是要注重有意义的理解性学习；深度学习，就是要培养学习者高阶认知能力；深度学习，就是要强调行为和情感的高投入；深度学习，就是要在实境中基于问题的学习.深度学习贵在参与，重在思考，妙在引领，巧在拓展.我们要从明晰目标出发，从转变态度出发，从问题设计出发，从深度参与出发，从深度对话出发，从合作交流出发，从拓展应用出发，从及时评价出发，从深刻反思出发，从开发潜能出发，从发展思维出发……一步一步地走向“深度学习”.

参考文献：

    [1]杨艳瑜，刘树林.国内深度学习研究述评[J].中小学电教，2017(12上)：12-15.

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