解法自然源于数学核心素养

                        王志刚  汪佃才

（ 王志刚 阜阳市教育局教研室  邮箱：526627664@ ；汪佃才 阜阳市颍上县教研室    邮箱：790981096@）

摘 要：数学核心素养是中学生适应未来社会生活应具备的基本素养之一，培养学生的数学核心素养是中学数学教师教学的核心目标。会用数学的眼光看问题，运用数学基础知识解决问题是学生的数学素养的集中体现，尤其体现在数学解题的过程中，数学解题过程中的解法自然形成是其数学核心素养的有效体现。

关键词：解法自然  核心素养   数学思维

数学离不开解题，解题应追求解法自然，这是人们基于对人的认知规律的认知的回答，然而，对于同一道题，往往因为一个人的知识结构、思维习惯和数学活动经验的不同，形成不同的解法，但无论哪一种解法，都是人的一种思维自然生成的过程，这应是追求解法自然的真谛所在。处于对“解法自然”深层次思索和探究，人们还是不断提出“解法自然源于何处？”笔者认为解法自然源于数学素养，尤其是数学核心素养，因为数学素养包含具有数学基本特征的必备思维品格和关键能力，是数学知识、技能、能力及情感、态度、价值观的综合体现。下面就一道几何题为例，谈谈自己一些思考。1  题目

   如图1，正方形ABCD，⊙O经过A、C两点，与CB、AB分别交于E、F两点，圆心O在BD上.

（1）求证：AF=CE.

（2）如图2，连接CF，G为⊙O上一点，连接FG、AG，若CF=GF，求证： 

（3） 如图3，在（2）的条件下，连接AO、DG，并延长AO交⊙O于点H，交CD于点K，过点O作ON⊥DG，交⊙O于点N，交DG于点M，若 .                         求正方形ABCD的边长.

∠

2   解法展示及分析

第（1）问证法：

证法1：如图4，连接OA、OC、OF、OE.因为OA=OC，AB=BC，

直线BD是正方形ABCD的对称轴，所以∠OAB=∠OCB，

∠AOB=∠COB（轴对称图形的定义），又OF=OE，OA=OC，

所以∠AOF=∠COE，所以AF=CE（轴对称图形的定义）.

证法2：如图4，连接OA、OC、OF、OE.因为OA=OC，AB=BC，

OB是公共边，所以△OCB≌△OAB，所以∠OAB=∠OCB.

又OF=OE，OA=OC，所以∠AOF=∠COE，所以△OCE≌△OAF，

所以AF=CE.

证法3：如图5，作OP⊥CE，OQ⊥AF，垂足分别为P、Q.

因为BD平分∠ABC，所以OP=OQ，所以AF=CE

（在同圆或等圆中，弦心距相等，所对的弦相等）

证法4：如图6，因为，且AB=BC，

所以BF=BE，所以AF=CE.

分析

观察此题图形，构图的主框架是正方形和圆，轴对称是其突出特征。直线BD是其对称轴跃然纸上，使两个轴对称图形和谐统一。从这个视角，显然AF=CE，然而以此为据证明AF=CE，又有欠缺，即点E为何与点F重合，显得说理不足，但给我们提供了对此图形的整体把握，便于寻求详细路径，证法1油然而生。证法2是通过全等三角形完成，是证明两线段相等常用方法，两者证法追根溯源归于几何直观和空间观念。证法3是运用到圆中的重要的定理：弦心距相等，相应的弦相等，证法4是利用相交弦定理，其思路是都是在几何直观的基础上，经历数学的逻辑推理而形成。以上各种证法，还表现出数学思维品质的深刻性、灵活性和敏捷性。

第（2）问证法：如图7，连接EF.因为CF=GF，AF=CE，

所以⌒(FG)=⌒(FC)，⌒(AF)=⌒(CE)，所以⌒(AG)=⌒(EF)所以EF=AG，

在Rt△BEF中，BE=BF，所以EF=BE，所以AG=BE.

分析

从求证的目标看，虽然目标明确，但AG与BE的关联性较低，直接关系难以衔接，只有通过转化，通过中间量架起桥梁。需要思考的是AG等于哪个与BE有直接关联的线段，或者是BE是怎样的线段，然后寻求它与AG的等量关系。因此，结合图形分析，由（1）知BE=BF，且∠B=90°，联想到连接EF，则EF=BE，因为等腰直角三角形的斜边是直角边的倍，这是我们较熟悉的一个重要模型，接下来只需证明EF=AG即可。结合条件FG=FC和第（1）问的结论AF=CE，以及图形的直观性，可考虑证明△CEF≌△FAG.这时需要的关键条件是∠AFG=∠ECF，从正方形中现有的条件很难证出∠AFG=∠ECF，于是考虑能否通过等弧所对的圆周角相等，于此同时会发现若得∠AFG=∠ECF，则⌒(AG)=⌒(EF)↔EF=AG，到此第（2）问的证法自然形成。反思整个思考过程，主要是“转化”的数学思想方法的运用，以及对基本数学定理：圆周角相等↔弧相等↔弦相等和基本图形：等腰直角三角形的掌握。另外，逻辑推理贯穿其中。

第（3）问解法：如图8，连接CG，CH，HD，作OR⊥CD于点R.

由（2）知：∠AFG=∠BCF，因为∠BFC+∠BCF=90°，

所以∠AFG+∠BFC=90°，所以CG过点O.

由，可知HK=OK，OA=2OK，所以，

所以点K是CD的中点，所以四边形OCHD是平行四边形，

所以HD=OC.由点A、C关于直线BD对称，可知点H、K关于

直线BD对称，所以HD=DG.设OR=x，则DR=x，OD=x，

AD=3x，所以CR=2x，OC=x，所以OG=DG=x.

在等腰三角形ODG中，作GS⊥OD，由（GS=x）

可得x，由ON-OM=MN可得，所以x=1，即正方形ABCD的边长是3.

分析

      对于此问，从图形看，由于线条增加，更加复杂了；从条件和求解的问题看，难度明显上升，很难一眼看出，以及ON⊥DG，与正方形ABCD边长的关系，思维严重受阻。因此，首先要明确思维发展的受阻点，思考问题解决的突破口。问题的受阻点集中在怎样将与正方形ABCD的边长建立数量关系和关联？为了寻找问题解决的突破口，先剖析条件，通过位置关系和数量关系的分析，得到OK与HK，OK与OA（半径），DK与AB（正方形边长）之间的数量关系，再结合ON⊥DG，，试图通过建立方程来解决问题，这是作OR⊥CD于点R，设OR=x的思维的根源。为了解决问题的需要，思考通过转化，建立联系。首先从复杂的线条关系中，逐步抽象出图9；为了证明K是CD的中点，又剥离出图10，为了寻找等量关系，建立方程，最后剥离出图11，进而得到一元一次方程模型。在这个过程中，直观、联系、想象和推理是桥梁，熟悉一些基本图形及其蕴含的数量关系，借助平时积累数学活动经验是关键。反思整个解题过程，几何直观、空间想象是根本，能提出问题、分析问题和解决问题是关键，数学推理和抽象模型是核心。在寻找各线段之间的数量关系中，数感和运算能力同样也起到至关重要的作用。对于此题的解答其它解法及分析，这里不再一一赘述。

3  几点思考

    对于几何问题的解答，起于观察，经历思考，成于方法。纵观整个解题过程，思维的发展、思路的形成和解法的选择，处处都体现了数学素养的融入，尤其是核心素养。数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的关键能力与思维品质。数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是学生在数学学习的过程中逐步形成的。数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体。在此题的解答过程中，主要体现的数学核心素养有直观想象、逻辑推理和数学建模。

3.1   直观想象是思维基础

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。

直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。

此题构图美观精巧，问题设置层层推进，集初中平面几何中的重点知识于一体，考察综合运用数学知识的能力。整个解题过程，直观想象是形成此题具体解题方法的基础，首先通过观察对图形进行整体感知，作出准确判断，图形关于直线BD对称；然后借助空间想象，构造全等三角形△OCE与△OAF，平行四边形OCHD、对称图形△OAG与△OCH，△OGD与△OHD；经历逻辑推理，对图形中蕴含的各种位置关系和数量关系分析，从复杂的图形中剥离出图10和图11模型。直观想象发挥了重要的基础性作用。

  逻辑推理是核心

    逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。要证AF=CE,考虑到利用轴对称图形的性质（重合），全等三角形的性质（对应角相等），圆的性质（弦心距相等↔弦相等），以及等量代换（BF=BE→AF=CE）；依据BE想到构造等腰直角三角形BEF，再证AG=EF，使AG=BE得证；对问题（3）的解法形成，逻辑推理至关重要，利用比例线段，通过对图形中蕴含的各种位置关系和数量关系分析，逐步建构图9、图10和图11模型，以及寻找等量关系，建立方程，逻辑推理贯于始末，主要的推理形式是从一般到特殊的演绎推理。

 数学建模是关键

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。在此题的解题过程中，主要表现为建立特殊的图形模型和方程模型，具体有建构图4：△OCE≌△OAF，图5：弦心距相等OP=OQ↔弦相等AF=CE，图:7：等腰直角三角形BEF， 图9：平行四边形OCHD，利用面积求等腰三角形腰上的高等及由ON-OM=MN得方程：等。

“核心素养”已经成为当前教育界最受关注热词，它的内涵和运用需要在实践中不断丰富和完善，必将成为数学教学和教育需研究的重要课题。

参考文献：章建跃.数学学习与智慧发展[J].中学数学教学参考（中旬），2015（7-8）.