有趣的容斥原理
涓桥中心学校 余瑶
周老师曾说:“学数学,就犹如鱼和网,解答对了一道题,就等于捕获到了一条鱼,而明白了一种题型的解题方法,则是拥有了一张网。‘学数学’和‘学好数学’的区别就在于你是获得了鱼还是网。”生活中处处有数学,数学题中含生活。
有这样一道奥数题:
科技节期间,学校的科技馆展览了每个年级学生的科技作品,其中有168件不是一年级的,122件不是二年级的,一、二年级的参展作品共有48件,其他年级的参展作品有多少件?
这怎么算哪?年级参展作品总数不知道,如何求其他年级的参展作品呢?我摊开草稿纸,奋笔疾书,不到一会儿,草稿纸就被黑压压的“蚂蚁大军”侵占了,可我还是毫无头绪,急得团团转。可越急脑子越乱,越乱就更解不出来了。我刚想放弃,爸爸的话却一直萦绕在我的耳畔:坚持便是胜利!于是,我整理了一下思绪,顿时清醒了许多,想到了最近从书上看到的《奥数解题题典之容斥原理》,也许它帮助我。
容斥原理,又称包含与排除,是一种特殊的解题方法,有一些数学问题(如本题),所要求的问题是由几个条件共同决定的,这时我们可以分别满则每一个条件,也可以把满足一个条件的情况用一个圈来表示,再根据这些圈与圈之间的交叉、重叠关系进行分析思考,寻求问题解答。
本题无疑是一道容斥问题,这就好办了,有了这样一张完美的网,还怕捕不到这条小雨。果然,不出一会儿,这道题便解答出来了。由题意可知,168件作品是二至六年级的,122件作品是一、三、四、五、六年级的,168+122=290(件),这是一个一、二年级和两个三、四、五、六年级的参展作品数。从中去掉一、二年级共参展的48件,即可得到两个三至六年级参展作品总数,再除以2,即可求出其它年级作品件数。(168+122-48)÷2=121(件),这道题便迎刃而解——其它年级参展作品有121件。
看,是不是很简单呢?在接到容斥问题时,首先要确定采用了哪些分类标准,然后根据题意画出图示,找到哪些是重复的,重复了几次?仔细审题,明确求的是哪部分.在根据容斥原理进行解题。
在数学这片知识的海洋里,只有织出更多的网,才能捕获到更多的鱼。希望大家都能热爱数学,学好数学。