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除法竖式教学的实践与思考
作者:张有利 发表时间:2021年10月24日 浏览量:218 分享到空间
摘 要:在探讨除法的竖式计算过程中,教师经常会遇到一些生成性的问题,学生往往会有一些“奇思妙想”的错误方法,深度分析学生的错误成因和存在的困难,灵活运用教学策略,从而提高学生对除法竖式计算的认同感和认知度。
关键词:除法 竖式 计算 错误成因 教学策略
引 言:在学生的经验系统中,除法竖式计算的书写格式与加法、减法和乘法的竖式完全不同,学生受表内除法求商的竖式负迁移的影响,在进行竖式笔算时,往往会出现一些共同性的错误,由此引发了我对除法竖式计算教学时产生了一些思考。
一、不能正确书写除法竖式的原因
在数学教学各类比赛活动中,我听了很多老师上的《分桃子》一课,这是北师大版三年级数学下册的“两位数除以一位数”的新授课,在这之前,学生已经在二年级上册学习了“表内除法—用乘法口诀求商”,下册学习了“表内除法—除法竖式及有余数的除法”,在三年级上册又学习了“口算除法—两位数除以一位数”。而本节课主要是让学生探索“两位数除以一位数”的非表内除法竖式计算。教学活动中,学生在探究68÷2的除法竖式时,老师分给每个活动小组68根小棒(6捆加8根)代表桃子,让同学们平均分给2只猴子。学生通过动手操作,得到每只猴子分到34个桃子,即3捆加4根。当老师让学生用竖式计算68÷2时,大部分的学生都写出了相同的算式(图1)。这个现象引起了我的思考:学生为什么会写出如此一致的竖式呢?他们又是怎样思考出来的呢?
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…… 3与6的积 |
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图1 图2
结合学生已有的知识经验,在二年级下册《分苹果》(表内除法—除法竖式)一课中,解决18÷6时(图2),是在学生口算得到商的基础上介绍除法竖式的,只要求学生初步认识除法竖式的书写形式。学生通过表内除法很快得到了商,却对竖式很难理解,主要困难存在两点:一是受到口算的影响,学生已经会熟练地进行口算,接受竖式的内驱力不强;二是竖式中出现了两个18,都表示同一堆苹果的数量,第一个18表示被除数,第二个18则表示3与6的积,学生尽管经历了动手操作和仿写,但多数学生都没有真正理解这两个18的含义,第二个18都是照抄下来的,而不是算出来的,学生就产生了错误的心理指向,认为除法竖式中的商和除数的乘积与被除数是一样的,只要照抄下来就行了。这样,先入为主就形成了错误除法竖式的路径,给三年级下册学习笔算除法竖式埋下了“祸根”。简单地说,主要是学生对笔算除法竖式的算理不关注,也就谈不上理解,只是停留在对竖式书写格式的记忆上,导致多数学生同时出现了像图1那样的竖式。再者,在计算68÷2时,十位上的6和个位上的8都能被2整除,从数的形式上,也为学生创造了书写图1竖式的机会。
思考:学生从口算除法过渡到笔算除法,有形式上的不同、运算方向上的不同和思考方式上的不同。教师应引导学生理解除法竖式的价值,理解“分”的过程,将“分的过程”与“除的步骤”相结合,理解每一步计算的结果是怎么得到的,沟通算理与算法之间的关系。
二、除法竖式难写的关键
1.除法竖式的书写形式和加、减、乘的竖式相比更具有独特性。在计算时,受到加、减、乘笔算格式的负迁移,学生要建构除法竖式的格式是很困难的。可很多老师都是直接把竖式介绍给学生,再让学生仿写,学生缺乏对竖式的理解,所以效果都不好。
2.除法竖式计算的过程比较复杂,具有综合性。从商、乘、减、比、落五个过程中,我们发现学生先用乘法口诀试商,算出商与乘数的积,减出剩下的余数,然后比较余数和除数的大小,再与落下的后一位数字组合,继续循环往复这样的计算。在试商时,学生要熟记乘法口诀,经常会有一部分学生因为乘法口诀不熟练,不能脱口而出,在笔算时,为了求一个商,就要把乘法口诀全部背诵一遍,这样不仅大大地影响了计算的速度,而且还会觉得除法麻烦、难做。由此可见,笔算除法是所有笔算学习中运用方式最多的一个,体现出计算的综合性,对学生的要求也比较高。
3.教师对除法竖式教学的重视力度不够。像教学68÷2时,学生已经通过口算知道了答案,这样就形成了先有了正确的结果再去探究计算算理过程,学生本身没有产生探究算理的内需,就无法积极地去理解除法竖式的含义了。再者就是老师在教学时也认为,只要把除法竖式的形式及注意事项教给学生就可以了,摆小棒的过程不重要,就把竖式的书写与分物的过程脱离开来。
4.学生对笔算除法竖式的算理不关注,只是停留在对书写格式的记忆上,导致在探究竖式计算方法时出现了思维偏差。
三、除法竖式的教学与领悟
在平时的教学中,对于除法竖式的书写格式,我们都会习以为常,很少有人会去思考68÷2整个除法竖式的真正含义,总会觉得原先学生已经学会了除法竖式,哪怕出现了很多学生把68÷2写成图1只分一次的形式,老师们总会想办法把学生只分一次的做法扭转过来,但是学生并没有真正的理解这个竖式的算理。因为除法竖式的运算形式表现为程序化,如果不理解其实质,紧靠死记硬背或机械的运算,把学生的运算技能和思考割裂开来,就很容易出现差错。所以在除法竖式的教学中,要让学生经历从实物操作到数学计算的过程,弄清“要分层书写”和“除到哪一位就商到哪一位”所蕴含的道理,领悟除法竖式计算的本质和规律。
案例:1.有68个桃子(6篮加8个),平均分给2只猴子,每只分到多少个?
师:我们用小棒代替桃子,你们每个活动小组有68根小棒(6捆加8根),请动手操作把它平均分给2只猴子。分完后告诉老师,你是分几步来完成的?每一步对应的算式是什么?
生:我是分两步完成的。第一步:把6捆(60根)平均分给2只猴子,每只3捆(30根),对应的算式是6÷2=3(捆),即60÷2=30(根);第二步:把8根平均分给2只猴子,每只4根,对应的算式是8÷2=4(根)。最后得到的结果为:每只分到34(30+4=34)根。
师:很棒!如果让大家用除法竖式表示刚才分的过程,你会怎样表示呢?
师展示学生给出的3种表示方法(图3、图4、图5)。
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图3 图4 图5
师:请同学们结合分小棒的过程,在小组内交流一下,看看哪个竖式最能清楚地记录平均分的过程?并说一说在除法竖式中每个数所表示的是什么意思?
生:我们认为图5的竖式最能清楚地记录平均分的过程。我们是分两次来分的,第一次:先分6捆,把6捆平均分成2份,每只猴子得到3捆,即3个十,3在竖式中就写在十位上。然后看整捆的小棒分完了没有,每只猴子分了3捆,2只共分了6捆,2×3=6,整捆的正好分完了,还剩下的8根就写在第二层。第二次:再分8根,把8根平均分成2份,每只猴子分到4根,即4个一,4就写在个位上。再看单根分完了没有,每只猴子分到4根,2只共分到8根,2×4=8,正好分完,没有剩余。最终得到结果就是30+4=34,即:每只猴子两次共分到34个桃子。所以,我们组认为图5竖式最能清楚地反映平均分的过程。
师:谁能说说除法竖式中各数所表示的含义吗?
师根据学生汇报板书:
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…… 每只猴子两次一共分到34个桃子。 |
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…… 一共68个桃子。 |
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…… 第一次共分掉6篮(60个)桃子。2×3=6(个十)。 |
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8 |
…… 分一次后还剩8个没有分。 |
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…… 第二次分掉8个桃子。2×4=8(个)。 |
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…… 分两次后剩余0个。表示分完了。 |
图6
师:说的很好。我们从图6竖式中就能看出分的过程。大家还有没有其它的意见?
生:我们认为图4的竖式也能清楚地反映平均分的过程。只不过是把两次分的过程分开来写的。
师:很好。假如让你来列竖式,你会选择哪种竖式呢?
生:图5的竖式。
师:为什么?
生:因为它比图4的竖式更简洁、明了。
师:图3的竖式显得更简洁一些,我们可以选择吗?为什么?
生:不能选择。因为图3的竖式不能清楚地记录两次平均分的过程,不能清楚地表示第一次分后还有没有剩余。如果被除数大了就不容易看出商是多少了。
思考:从实物操作到竖式表达,帮助学生化解了认知中的困惑,沟通了除法竖式从直观到抽象的联系,理解了除法竖式表达的意思,为下一阶段的学习打下了基础。同时,让学生用自己的方法书写除法竖式,不但能培养数学表达与交流能力,还能培养学生创造能力。通过辨析,让学生领悟了图5除法竖式表达的简约性和计算方法的程序性,将正确的认知正向迁移到两位数除以一位数的计算中。
2.又来了1只猴子,68个桃子平均分给3只猴子,每只分到多少个?还剩多少个?
师:又该怎么分呢?请同学们继续用小棒代替桃子分一分,分完后告诉老师,你是分几步完成的?每一步对应的数学算式是什么?
生:我们还用刚才的方法来分两步完成的,只是第二次分剩下的8根没有分完,还剩余2根,有3只猴子无法再分了。
师:太棒了。请再用竖式来表示分的过程吧!说说竖式中的各数又表示什么含义?
学生汇报,师板书讲解。(如图7)
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…… 每只猴子两次一共分到22个桃子。 |
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…… 一共68个桃子。 |
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…… 第一次共分掉6篮(60个)桃子。2×3=6(个十)。 |
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…… 分一次后还剩8个没有分。 |
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…… 第二次分掉6个桃子。2×3=6(个)。 |
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…… 分两次后剩余2个。8-6=2(个),有3只猴子,无法再分了。 |
图7
思考:学生再次通过分物过程,进一步理解竖式中各数表示的含义,做到了数形结合。学生借助摆小棒,感受先分十位,后分个位的过程,把静态的竖式动态化,并通过归纳小结加深对除法竖式的进一步理解,体会到要从高位算起及数位对齐的道理,跨越了计算认知上的“坎”,从而拓宽笔算除法的思路和运用空间。
总之,作为学生学习的组织者、引导者与合作者,教师要以学生的数学创造为基础,引导学生领悟数学理论和方法的优越性、合理性,做到“跳出数学”教学,化抽象为具体,化无形为有形,更多地去了解学生探究活动的经验基础,为学生探究活动提供恰当的“材料”,让学生经历一个从具体—表象—抽象—符号化的过程,把客观现实中存在的失误和现象以及它们之间的相互关系,抽象概括为数学符号,这才是走出教学困境的有效途径。
参考文献:
[1]王光明,范文贵,«新编数学课程标准解析与教学指导»,北京:北京师范大学出版社,2012。
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