条条道路通罗马

谈谈《按比例分配问题》的多种解题思路

2013年4月17日  校头小学  胡维金

   在小学语文教材中有这样一篇课文：《通往广场的路不止一条》。它告诉我们：在你迷失方向，一时找不到前行的道路时，你不要灰心，不要绝望。其实通往罗马的道路就在你的脚下。一条道路迷失了，另一条蹊径就会在你的智慧指引下开辟出来。小学数学中的解决问题策略也是同理：同一个起点，要最终实现同一个正确的结果，其过程也就像那通往罗马的道路一样相互交织、星罗棋布，虽各不同道，但最终都能殊途同归。小学数学中有关分配问题的多种解决办法正是如此。

有关分配问题在小学低年级数学教材上就已涉及到。将一个数平均分成若干份，求其中的每一份数量，就是平均分问题。比方说：幼儿园教师将150块饼干平均分给30个小朋友，每个小朋友分得几块饼干？这就是平均分配。可在六年级中提到的《按比例分配问题》就明显区别于这种分配，它把一个总数量分成的几部份数量是不相等的，这各部分量之间存在着一种比的关系，所以也是有规律分配。如由13名男生和11名女生组成的一个六年级班级负责学校960平方米的清洁区，男、女生各应负责多少平方米的清洁区？这就是一个按比例分配的实际问题。但归根结底也还是平均分配问题。虽然男、女生各分配到的清洁区面积不能平均，但这个年级每人分配到的清洁区面积还是均衡的。下面就以这个问题为内容探究几种解决问题的方法。

第一种方法是：全班共有13+11＝24人，所以可将960平方米的清洁区平均分成24等份，每份是960÷24＝40平方米，即960平方米的清洁区平均分配给24个人，每人应负责40平方米。因为男生有13人，所以男生应负责的清洁区是40×13＝520平方米；女生有11人,应负责的清洁区是40×11＝440平方米。

第二种方法是用分数知识来解决分配问题。将被分配的总量看作单位“一”，平均分成24份，男生负责的区域正好占其中的13/24，女生占11/24，然后用求一个数的几分之几是多少的方法计算分配后各部分量的多少。这里的一个数就是被分配的总数即960平方米，几分之几就是指各部分量占总数的几分之几，然后用总量分别乘以各部分量所占的分数就等于各部分的数量了。如960×13/24＝520平方米就是分配给男生的清洁区部分；960×11/24＝440平方米就是分配给女生的清洁区部分。

除了以上这两种方法还可以考虑第三种方案：因为本班男生与女生人数的比是13:11，所以说，如果男生应负责的区域是13平方米的话，女生就是11平方米，总共是24平方米。依据比的基本性质来进行推测：960平方米正好是24平方米的40倍，所以只要将13:11这个比的前、后项同时扩大40倍就成了520:440，即男生应负责520平方米，女生应负责440平方米。

还可以采用实地划分的方法：把960平方米的清洁区划分为面积相等的24个小区域，则男生负责的区域就是其中的13个小区域，其余的11个小区域便是女生负责。

以上是已知总数和部分量之间的比求分配后各部分量的多少这类问题的几种探究思维方式。此外还有已知各部分量的比和分配后的其中一部分量,求其余部分量的问题。解决这类问题比上种情形复杂得多。如配制混凝土，是将水泥、黄沙、石子按2:3:5的比配制成的。如果配制时黄沙用去了18吨，那么水泥用去了多少吨？石子用去了多少吨？这也是分配问题，但解决问题的方法明显有别于以上类型，因为被分配的总数不知道。解决这类分配问题同样也有多种渠道可行。

其一、用平均分知识来理解。同一个比中每一份的含量是相等的，从2:3:5的比中了解到，黄沙所需的份数为3份，所以每份含量是18÷3＝6吨，水泥所需的份数为2份，所以是6×2＝12吨；石子所需份数为5份，所以是6×5＝30吨。这种解法简便，计算快速而容易理解，便于学生接受。

其二、用比的基本性质来分析：水泥、黄沙、石子的比为2:3:5，即水泥为2吨时，黄沙为3吨、石子为5吨。现在黄沙用了18吨，即将比的中间项扩大了6倍，所以前项2也需扩大6倍，2×6＝12吨，后项5也扩大6倍，5×6＝30吨，即原来的比变为12:18:30。各部分量扩大了6倍，总量也扩大了6倍，比的大小没有改变。

此外，利用分数知识求解的有三种方案：第一种是先求总量后求部分量。18吨黄沙占混凝土总量的3/10，所以混凝土总量应为18÷3/10＝60吨。因而得知水泥用去总量的2/10，即60×2/10＝12吨，石子用去总量的5/10、即60×5/10＝30吨。第二种是用分数乘法知识来解答。从比中可知，水泥是黄沙的2/3，石子是黄沙的5/3，所以水泥用量为18×2/3＝12吨，石子用量为18×5/3＝30吨。第三种，还可用分数除法来解答。从比中可以了解到黄沙是水泥的3/2，又是石子的3/5，所以水泥用量为18÷3/2＝12吨，石子用量为18÷3/5＝30吨。

从上面的例子可以知道，《按比例分配问题》的解决策略是多渠道的，且各种思维相互交织、相互关联、相互辅助。每一种思维又都离不开最初、最简单的数学原理，如平均分知识，分数乘除知识，还有有关比的知识等，就像万丈高楼、辉煌建筑，最根本的材料还是离不开垒墙的砖，支撑的梁和柱这些最基本的东西。

小学数学问题中有很多像这样可以用多种思维，多种方法解决的问题，只要沿着那相互关联，又各有不同的解题途径去深入探究，最终都能达到预期的目的。虽然有时你像误入了歧途，感觉身处“山重水复”之中，找不到前进的方向。但只要你没有灰心，鼓足了勇气，曙光就会离你不远，“柳暗花明”的新村会让你惊喜，让你探究学习的步伐更坚定。

探究数学是一条没有尽头的道路，步子正了、实了，道路越走越宽广，步子虚了、斜了，道路会越走越艰难。只要我们有了丰富的扎实的数学基础，探究数学问题不再是负担，而是一种乐趣、一种享受、一种喜悦。