鸽巢问题(2)
3.例3.
编写意图
本例是“抽屉原理”的具体应用,也是运用“抽屉原理”进行逆向思维的一个典型例子.要从4个红球和4个蓝球中摸出2个同色的球,问最少需要摸出几个球.要解决这个问题,可以联想到前两个例题中的“抽屉问题”.因为一共有红、蓝两种颜色的球,可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”,“同色”就意味着“同一抽屉”.这样,就可以把“摸球问题”转化成“抽屉问题”.假设最少要摸出a 个球, a÷2=1……b ,当b =1时, a就是最小的,此时 a=3.即至少要摸出3个球,才能保证有两个球是同色的.
教材通过三个学生的对话,指出了学生可以通过先猜测再验证的方法来解决问题,也反映了学生在解决这个问题时有可能会遇到的一些困难.例如,本例中的“4个红球和4个蓝球”很容易给学生造成干扰.
接下来,教材引导学生把这个结论进一步推广,指出“只要摸出的球比它们的颜色种数多1,就能保证有两个球同色.”例如,球的颜色有三种,至少要摸出四个球,才能保证摸出的球里有两个同色.教材第72页的“做一做”中第2题描述的就是这种情形.
“做一做”第1题也是“抽屉原理”的典型例子.其中“370名学生中一定有两人的生日是同一天”与例1中的“抽屉原理”是一类,“49名学生中一定有5人的出生月份相同”则与例2的类型相同.
教学建议
教学例3时,要先引导学生思考本例的问题与前面所讲的抽屉原理是否有联系,有什么样的联系,应该把什么看成抽屉,要分放的东西是什么.但学生在思考这些问题的时候,一开始可能会缺乏思考的方向,很难找到切入点.此时,可以让学生先自由猜测,再验证.例如,有的学生会猜测“只摸2个球能否保证这2个球同色”,只要举出一个反例就可以推翻这种猜测,如这两个球正好是一红一蓝时就不能满足条件.再如,由于受到题目中“4个红球和4个蓝球”这个条件的干扰,许多学生会猜测要摸的球数只要比其中一种颜色的个数多1就可以了,即“至少要摸出5个球才能保证一定有2个是同色的”.为了验证这个猜测,学生会自觉地把“摸球问题”与“抽屉问题”联系起来,把两种颜色看成两个抽屉.根据5÷2=2……1,可以知道,摸出5个球时至少有3个球同色.因此,摸出5个球是没有必要的.
在学生猜测、验证的基础上,逐步引导学生把具体问题转化为“抽屉问题”,找出这里的“抽屉”是什么,“抽屉”有几个,再应用前面所学的“抽屉原理”进行反向推理.例如,在本例中,根据例1中的结论“只要分的物体个数比抽屉数多,就能保证一定有一个抽屉至少有2个球”就能推断“要保证有一个抽屉至少有2个球,分的物体个数至少比抽屉数多1”.现在,“抽屉数”就是“颜色数”,结论就变成了:“要保证摸出两个同色的球,摸出的球的数量至少要比颜色种数多1.”因此,要从两种颜色的球中保证摸出两个同色的,最少要摸出3个球.应用此结论,就可以直接解决“做一做”第2题的问题.
在教学的过程中,在实际问题和“抽屉问题”之间架起一座桥梁并不是一件非常容易的事.如果学生在理解时存在比较大的困难时,也可以引导他们这样思考:球的颜色一共有两种,如果只取两个球,会出现三种情况:两个红球、一个红球一个蓝球、两个蓝球.如果再取一个球,不管是红球还是蓝球,都能保证三个球中一定有两个同色的.