函数是高中数学中最重要的概念之一．在处理函数有关问题时，有些概念形式上相似，但实质不同.同学们在解决这些问题时，容易混淆，产生错误．本文针对函数中几类“易混淆概念”的典型问题，分别以对比形式呈现，利于大家对比辨析，有效掌握．

一、定义域与值域

（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围．

（2）若函数的值域为，求实数的取值范围．

【解析】（1）若函数的定义域为，即对任意的实数， 恒成立．当时，不恒成立.

 当时，则有且，解得．

（2）若函数的值域为，就是应该取遍一切正

的实数，也就是集合是值域的子集．当时，，它的值域是，符合要求；当时，只要就能保证集合是值域的子集，解得或；时不合要求．故实数的取值范围是．

    【评注】 （1）注意对二次项系数的讨论.（2）在处理具体的函数时，要切实把握定义域是自变量取值的集合，而值域是函数值的集合．

二、定义域与有意义

（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围．

（2）已知函数在区间上有意义，求实数的取值范围

【解析】（1）因为函数的定义域为，所以不等式的解集是，于是，是方程的根，代入求得．

（2）因为函数在区间上有意义，所以，不等式对恒成立，即对恒成立，而，即．

【评注】若在上有意义，则是函数定义域的子集．

三、值域与函数值变化范围

（1）若函数的值域为，求实数的取值范围．

（2）若函数的值恒大于或等于0，求实数的取值范围．

【解析】（1）因为函数，

所以，即的值域为，于是有，解得或．

（2）因为函数恒成立，即恒成立，解得．

【评注】函数的值域是函数值的集合，其中每一个元素都是函数值；而函数值恒大于等于0，是指函数值在内，并非要求取遍内的每一个值．

四、主元与次元

（1）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

（2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【解析】（1）原来的不等式可以转化为对于恒成立；按对称轴分下面三种情况讨论：

 i）当时，即时，只要，即，此时矛盾．

 ii）当时，即时，只要，即，此时矛盾．

 iii）当时，即时，只要，即．

 综上，实数的取值范围．

（2）原来的不等式可以转化为对于恒成立；只要即可，于是，解得或或

【评注】构造函数时并不一定要以为自变量，应该根据已知条件，选择恰当的变量为主元，从而使问题简化．

 五、有解与恒成立

 （1）已知，若恒成立，求实数的取值范围．

 （2）已知，若有解，求实数的取值范围．

 【解析】（1）因为恒成立，这就要求的图象全部在直线的下方，即就可，易知，所以，．

（2）要使有解，这就要求的图象上有点在直线的下方即可，即，又，所以，

【评注】“有解”是要求某范围内存在使得不等式成立即可．有解，有解．“恒成立”要求对某范围内任意的，不等式都成立．恒成立，恒成立．

 六、单调区间与区间单调

（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．

（2）若函数单调递增区间是，求实数的取值范围．

【解析】（1）在区间上单调递增，那么，对称轴，解得．

（2）图象的对称轴是，那么，的单调递增区间为，于是就有，解得．

【评注】若函数在区间上具有单调性，则在的任一子区间上具有相同的单调性，而单调区间是具有单调性的最大区间．

七、时恒成立与时恒成立

（1）已知函数，（为实数），若对于任意的，

都有成立，求实数的取值范围．

（2）已知函数，（为实数），若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围．

【解析】（1）设，则；于是，对于任意的时，恒成立．即；容易知道，故．

（2）对于任意的，都有恒成立，等价于当时，；容易求得，，于是，故．

【评注】 时恒成立，等价于时，；

时恒成立，等价于时．

    此时，由y＝－x2－5x－4(y＝－ax)得x²＋(5－a)x＋4＝0.

    由Δ＝0得(5－a)²－16＝0，解得a＝1，或a＝9(舍去)，

    则当1<a<2时，两个函数图象有4个交点．故实数a的取值范围是1<a<2.

    【评注】已知函数有零点（方程有根）求参数范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接求方程的根，再约束根的范围确定参数的范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化为求函数的值域问题进行解决；（3）数形结合法：先对解析式进行适当变形，然后在同一坐标系中画出函数的图象，进行观察求解.