弗赖登塔尔的数学教育思想

    荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威学者。在他担任国际数学教育委员会(1CMl)主席期间，召开了第一届国际数学教育大会(ICME—1)，并创办了《Educa—tional Studies in Mathematics》杂志，现任ICMI主席(巴黎十一大学校长)加亨(Kahane)教授曾评价说：“对于数学教育，本世纪的上半叶Felix Klein做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶Hans Freudenthal做出了巨大的贡献。”

    作为一位数学家，弗赖登塔尔30年代就享有盛誉，从50年代起就逐渐转向数学教育的研究，形成了他自己的独到的观点。他的数学教育理论与思想，完全是从数学教育的实际出发，用数学家和数学教师的眼光审视一切，可以说已经摆脱了“教育学” (或“心理学”)加数学例子这种“传统的”数学教育研究模式，抽象概括成他独有的系统见解，这也许是他最重要的贡献，也正是我们特别需要借鉴之处。

第一节  关于现代数学特性的论述

    数学教育的研究不能离开它的对象——数学的特有规律，进入20世纪以来，数学发展的突飞猛进，迫使当代社会的数学教育必须充分考虑到现代数学的特点。为此，弗赖登塔尔从数学发展的历史出发，深入研究了数学的悠久传统，以及现代数学形成的背景，提出了现代数学的转折点，是否应该以现代实数理论的诞生和约当(Jordan)的置换群的产生作为标志；或者是另一种看法，那是以著名的布尔巴基(Bourbaki)理论的出现，作为一个新时期的开端。基于这一分析，弗赖登塔尔认为现代数学的特性，可以归结为以下几个方面：

    1．数学表示的再创造与形式化活动。如果认真分析一下近几十年来数学的变化，就会发现变的主要是它的外表形式，而不是它的内容实质。这是一个自然演变的过程，在数学的各个领域内，逐渐渗透与发展了各种新知识与新词汇，最终汇成一个新潮流——形式化，这是组织现代数学的重要方法之一，也是现代数学的标志之一。事实上，这个形式化过程还在继续不断地演变着，新的形式在不断地创造着，形式化的进程也许刚开始，它将以更自觉的方式继续活动。

    微积分的发展是一个例子，当牛顿、莱布尼兹开始引入微分、积分以及无穷小的时候，这都是一些具有某种直观背景的模糊观念。根据某些实际需要，对它们进行各种描述，以及各种运算。经过了一段很长的历史，才逐渐形成了极限的概念，才有了

    再如表示一个函数的符号，为什么应该记作f，而不宜写作f(x)、这个道理很难叙述清楚，尤其是在只涉及几个具体函数的有限范围内，人们很不容易理解它的必要性，可是当你进入泛函分析的领域，要涉及函数的集合以及它们生成的空间，甚至进一步讨论空间之间的映射等等时，这种表达形式的精确化，随着讨论对象的日益抽象，涉及面的日益广泛，而愈来愈显出它的迫切性，这时才能体会表示形式的变化是不可避免的。

    形式化要求以语言为工具，按逻辑的规律，有意识地精确地表达严密的数学含义，不容许混淆，也不容许矛盾。换句话说，数学需要有自己特定的语言，严密、精确、完整而且相容。随着数学抽象程度的提高，语言表达的严密性日益增强，甚至像计算机语言似的向着符号逻辑的趋势发展。但这种数学语言的发展显然也不是绝对的，需要有个过程，这也就反映了数学有各种不同程度的形式化，在特定环境下，可以为特定的目的，构造不同的形式化语言。

    根据弗赖登塔尔的分析，我们认为现代社会的数学教育，当然不可能要求一下子飞跃到20世纪数学发展的最前沿，以形式化的现代数学内容，充塞于各种课程、教材之中。因为教育必然有一定的滞后性，儿童、少年的生理、心理发展规律，也必须要求以直观的具体的内容作为抽象的形式的背景与基础，可是最终应该达到的目的是，使学生理解现代数学这一以特定的数学语言表达的形式体系。当然这里有各种不同的要求，因而也要掌握不同层次的形式化，并且运用着不同水平的数学语言。于是如何根据学生的情况，培养他们从现实背景中，概括出各种数学的观念与运算，熟练地使用各种严谨的数学语言，有意识地占领并逐步建造起他们头脑中的不同形式体系，这一形式化活动的过程，就必须贯穿在数学教育的始终。

    2．数学概念的建设方法，从典型的通过外延描述的抽象化，进而转向实现公理系统的抽象化，承认隐含形式的定义，从而在现代科学方方法的道路上，迈开了决定性的一步。要是把康脱(Cantor)的集合论的创造，作为现代数学的开端，你就会看到建设概念的典范是通过“外延”来描述一个概念，即描述具有概念所反映的特性的对象全体，由此来了解并掌握这个概念。随着现代数学的进展，人们感到通过“外延”的描述，从而形成概念的印象这个方法，在不少情况下难以达到预定的目的。在更多的内容中，人们借助于具有这些特性的所有对象，从各种特殊情况中，描述它们的共性，阐述它们所必须满足的共有关系，解释它们所受的相关的约束、限制条件等等，从而抽象出一个更广泛、更一般的概念，这就是用公设或者是公理方法建立的概念。它的实质就是以隐含的方式描述了所要研究的对象，它并未明确指出概念的“外延”，但却已经规定了它必须满足的条件。这就是以隐含的形式作了定义，跳出了亚里土多德的形式逻辑的理论，从而使现代数学跨上了更高水平的形式体系，就如以布尔巴基为代表的学说，认为整个数学也只是对“结构”的研究。

    从整数的有序对来建立有理数，当然需要附上一个等价关系：那就是～的充分而又必要条件是ad＝bc(这里a、b、c、d均为整数，bd≠0)，于是有理数就作为是有序整数对的等价类，这是典型的通过外延的描述来建立有理数的概念。可是在群的概念形成中，却采取了另外的形式，通常是规定在某个集合中，定义了一个运算，使之符合结合律，并且存在单位元和逆元，于是这个集合就成为群。这样的定义可以适用于数域，例如整数集是个加法群，非零有理数集是个乘法群。同时，也可以适用于其他的如置换群与变换群，这就是因为在群概念的抽象化过程中，并未明确规定具有有关特性的对象，而只是隐含地阐述了它们所应该具有的条件。这在希尔伯脱的几何公理系建立过程中，已经充分体现了这种方式，点、直线、平面究竞是什么，虽然去掉了像欧几里德所作的“点是没有部分的”这类模糊的描述，但也并未给出任何清晰的阐述，却只是隐含地描述了点、直线、平面之间的关系与性质，而正是这些关系与性质，在演绎推理过程中起了实质性的作用。日常生活中，我们也会有这种体会，就像下棋，人们并不在乎棋子的大小、颜色、甚至质地与形状，注重的恰恰只是棋子所必须服从的活动规则。

    弗赖登塔尔之所以强调这一特性，正在于他抓住了现代数学的发展在方方法上所起的突变。数学教育本身是个过程，它不仅是传授知识，更重要的是在教学过程中，让学生自己亲身实践，而抓住其发展规律，学会抽象化、形式化的方法。就我国的数学教育而言，近年来已开始注意一些现代“结构”、“公理化”思想方法的渗透，但如何抓住其精粹，真正的“渗透”，并且又不至太脱离了具体的现实世界，超越了当前教育的实践基础。要使我们的数学教育脚踏实地地赶上世界潮流，而不仅是囫囵枣地咽下一些新名词，何况这些数学“公理”、数学“结构”，毕竟还需要人们所赖以生存的现实物质世界作为基础，如果忘记了这个背景，再高深、再严密的抽象概念，也难以让人们掌握与领会。

    3．传统的数学领域之间界限的月趋消失，一贯奉为严密性的典范的几何，表面上看来似乎已经丧失了昔日的地位，实质上正是几何直观在各个数学领域之间起着联络的作用；正如康德(Kant)所说：没有概念的直观是无用的，没有直观的概念是盲目的。当年欧几里德的《几何原本》曾被奉若神明，可是今天，在布尔巴基学派的结构主义数学中，几何却占据了很少的篇幅，学校数学教育中，几何的地位也已岌岌可危，可实际情况又是怎么样呢?

    现代数学的公理化形式就是来源于希尔伯脱的几何公理系，几何的术语如“空间”、“维”、“邻域”、“映射”、…等几乎渗入了数学的各个领域；复函数理论的发展，基础在于复数表示为平面的点；代数方程xⁿ＝1的意义之阐明，与复数平面中正n边形的作法密切相关；集合论的研究更充分显现出几何直观的数轴、点集、映射、…等，如何作为一种重要的组织方法；测度论是在几何面积概念的基础上形成的，而拓扑中最有力的代数方法恰是开始于最基本的形状——多面体的直观研究。

    大多数现代数学的概念和问题，都有着一定的几何背景，有关问题的解决，也常常依赖于头脑中能否出现清晰的n维空间甚至无限维空间的直观形象，或是找到适当的几何解释，几何形象常常导致问题解答的途径。且看爱因斯坦的一段精辟论述：“数学定理一涉及现实，它就不是必然的，而数学定理如果必然，它就不涉及现实，…，公理化的进展就反映在逻辑形式与现实直观内容的截然分开，…”而几何恰恰是在其间起着启示、联络、理解，甚至提供方法的作用，在界限日趋消失的现代数学的问题、概念与方法的广阔沙漠中，几何直观却常常可以提示我们，拯救我们，并告诉我们什么是重要的、有趣的和可以理解的。

    从现代数学反映出的这一特性，给我们提出了两个方面的问题。多少年来数学课程的设置常在“分久必合，合久必分”的一对“分”“合”矛盾之间周旋，算术、代数、几何、三角、微积分、…这一系列的学科，反映了数学发展史中各个不同阶段、不同侧面的情况，它们自有其各自的特点与规律。再结合学生的认识发展规律与认知过程，更需根据教学的规律来作出课程的设计，在不同时期侧重于不同方面是完全应该的。但总的目标是显然的，即使分也不能一分到底，完全分家，总还应该将数学视作为一个整体。当学生运用数学这个工具以解决问题时，就必须善于综合地应用代数、几何、三角、…等各种方法，应该使之互相渗透，互相结合，从中找出最佳的组合，而不是互相割裂，生搬硬套。

    另一个问题则是对于几何教育在数学教育中的地位、作用问题，这同样是多年来争论不休，各不相让的问题。叫了多少年的“欧几里德滚出去”的口号，可是仍有不少人认为，任何数学问题，最终还是需要建立在几何的基础上。这个话从现代数学发展的特性分析，似乎也有它一定的道理。当然几何究竟应该处于怎样一个恰当的地位，它在数学体系的教学中，可以起什么样的作用，到底怎样才能使几何直观或是公理化思想，在人们学习数学的过程中，生根开花，充分发挥它的效用，这自然也是研究数学教育所必须面对的重要问题。

    4．相对于传统数学中对算法数学的强调，应该认为现代数学更重视概念数学，或者说是思辨数学。现代数学中开始了现代化进程的主要标志——集合论、抽象代数和分析、拓扑等都是概念，思辨的喷发，它冲破了传统数学的僵化外壳，但是每个概念的革新，都包含着自身的算法萌芽，这是数学发展的道路。算法数学与思辩数学之间是一个相对的、辩证的关系，这并不等同于新与旧，高与低。概念数学果然体现了机械操作运算的突破，提高了理论的深度；而算法数学则意味着巩固，因为它提供了技术方法，可以探索更进一步的概念深度，同时也为了有个广阔的平台为基础，可以跳得更高。

    一个典型的例子，相同数量的一杯白酒与一杯红酒，取一匙白酒倒入红酒内，使之混和，再取同量的一匙混合酒倒人白酒内，试问，白酒杯中所含的红酒比红酒杯中所含的白酒多，还是正好相反?通常的解法是：假设两酒杯容量均为a，一匙的容量为b,则第一次动作后，白酒杯中所含白酒量为a-b，第二次动作后，…，不少人会在计算过程中搁浅、碰壁。在解此题时，很少人会作这样的推理：两个杯子最终还是含有相同数量的酒，如果想象每个杯子中白酒和红酒是分开的，那么白酒杯中的红酒就是红酒杯中所缺少的部分，而它的空缺现在正好被白酒所填补，这样就可以马上得出结论：白酒杯中所含红酒的量与红酒杯中所含白酒的量应该是一样多。这里的前一种解法是算法的，而后一种解法就是思辨的。

    在数学发展的历史上，算法曾经发挥了极大的威力。韦达(Vieta)的代数，笛卡尔的解析几何，莱布尼兹的微积分，都是这方面的出色成果，近年来的同调论以及同态图解法也是惊人的例子，算法数学确实有其迷人之处，通过算法的操作往往可以增加人们的自信与能力。数学发展的历史，当然也反映了沉迷于算法之中，会使人们的思想受到束缚与桎梏，必须跳出这个圈子，才能在数学的视野范围上有所拓广、有所深入，墨守成规地机械操作，必须随之以概念的革新，思维的组织，形成新的结构与新的体系。集合论的诞生，公理系统的建立，布尔巴基学派的出现，又证明了这一点。

    如何根据算法的数学与思辨的数学这一辩证关系，来组织我们的数学教育，也是经常使人感到困惑的问题之一。其实这个问题，就是知识与技能的关系，是强调概念，强调理解，还是着重运算，着重操作?有人认为理解是基础，有人又主张熟能生巧。在我国的中小学数学教育中，似乎也不乏这方面的颇具说服力的例子，算术中的九九表，分数的运算；国外对于计算器使用的教育等，看来也必须用辩证的方法来处理这一辩证的关系，应该使我们的数学教育，能在算法的数学与思辨的数学两方面，都给学生以足够的训练与培养，更重要的还在于，要使学生能够灵活地综合地运用于实践之中。