勾股定理的证明方法1
做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a+b,所以面积相等.即a的平方加b的平方,加4乘以二分之一ab等于c的平方,加4乘以二分之一ab,整理得a的平方加b的平方等于c的平方。
勾股定理的证明方法2
以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于二分之一ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上.
∵RtΔHAE≌RtΔEBF,
∴∠AHE=∠BEF.
∵∠AEH+∠AHE=90º,
∴∠AEH+∠BEF=90º.
∴∠HEF=180º―90º=90º.
∴四边形EFGH是一个边长为c的
正方形.它的面积等于c2.
∵RtΔGDH≌RtΔHAE,
∴∠HGD=∠EHA.
∵∠HGD+∠GHD=90º,
∴∠EHA+∠GHD=90º.
又∵∠GHE=90º,
∴∠DHA=90º+90º=180º.
∴ABCD是一个边长为a+b的正方形,它的面积等于a+b的平方。
∴a加b的平方等于4乘二分之一ab,加上c的平方。.
∴a的平方加b的平方等于c的平方。
勾股定理的证明方法3
以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于二分之一ab。把这四个直角三角形拼成如图所示形状。
∵RtΔDAH≌RtΔABE,
∴∠HDA=∠EAB.
∵∠HAD+∠HAD=90º,
∴∠EAB+∠HAD=90º,
∴ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2.
∵EF=FG=GH=HE=b―a,
∠HEF=90º.
∴EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于b减a的平方。
∴4乘二分之一ab加上,b减a的平方等于c的平方。
∴a^2+b^2=c^2(说明a^2为a的平方)。
勾股定理的证明方法4
以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于二分之一ab。把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上.
∵RtΔEAD≌RtΔCBE,
∴∠ADE=∠BEC.
∵∠AED+∠ADE=90º,
∴∠AED+∠BEC=90º.
∴∠DEC=180º―90º=90º.
∴ΔDEC是一个等腰直角三角形,
它的面积等于二分之一c^2.
又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,
∴AD∥BC.
∴ABCD是一个直角梯形,它的面积等于1/2(a+b)^2.
∴1/2(a+b)^2=2x1/2ab+1/2c^2..
∴a^2+b^2=c^2.
勾股定理的证明方法5
做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.
∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,
∴∠EGF=∠BED,
∵∠EGF+∠GEF=90°,
∴∠BED+∠GEF=90°,
∴∠BEG=180º―90º=90º.
又∵AB=BE=EG=GA=c,
∴ABEG是一个边长为c的正方形.
∴∠ABC+∠CBE=90º.
∵RtΔABC≌RtΔEBD,
∴∠ABC=∠EBD.
∴∠EBD+∠CBE=90º.
即∠CBD=90º.
又∵∠BDE=90º,∠BCP=90º,
BC=BD=a.
∴BDPC是一个边长为a的正方形.
同理,HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S,则
a^2+b^2=S+2x1/2xab
c^2=S+2x1/2xab
∴a^2+b^2=c^2.
勾股定理的证明方法6
做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP∥BC,交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点
F作FN⊥PQ,垂足为N.
∵∠BCA=90º,QP∥BC,
∴∠MPC=90º,
∵BM⊥PQ,
∴∠BMP=90º,
∴BCPM是一个矩形,即∠MBC=90º.
∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º,
∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º,
∴∠QBM=∠ABC,
又∵∠BMP=90º,∠BCA=90º,BQ=BA=c,
∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.