教学中渗透数学思想——化繁为简

     “鸡兔同笼” 是我国古代著名趣题之一，教材揭去它“奥数”令人生畏的面纱，还其生动有趣的一面。通过学习，不仅使学生感受祖先的聪明才智，而且体会到解题策略的多样性以及其中蕴含的丰富的数学思想方法，培养学生探索的兴趣与能力。

1、化归思想 ——“砍足法”或“抬腿法”也称化归法，《孙子算经》上的解法“畅言”教学平台上也是这种方法。

化归是基本而典型的数学思想。化归是指将有待解决的问题，通过转化归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决。我们常常用到的如化未知为已知、化难为易、化繁为简、化曲为直等都是这一思想方法的运用。《孙子算经》中是这样叙述的：“今有稚兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？

《孙子算经》上的思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1，依此类推。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12（只）。显然，鸡的只数就是35－12＝23（只）。

可以这样理解：把总脚数除以2以后，每只鸡只剩下一只脚，每只兔剩下两只脚了，减去头数，就相当于每只鸡兔再减去一只脚，鸡脚减完了（即没有鸡了），剩下的每只兔只有一只脚，此时所剩脚数恰好等于兔子头数。      其公式为：
        兔数= 总脚数÷2－头数
        鸡数＝头数－兔数
        按这个方法，书上例题就可以这样计算：
        兔数：54÷2－20=7（只）
        鸡数：20－7=13（只）
        上面的解法是《孙子算经》中记载的。做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍。可是，当“脚数”不是4和2时（如自行车和三轮车的轮数是2和3），上面的计算方法就行不通。因此，我们对这类问题给出一种一般解法——假设法。

2、假设思想

假设是一种重要的数学思想方法。假设法是先假定一种情况或结果，然后通过推导、验证来解决问题的方法。合理运用假设法，往往可以使问题化难为易，使解题另辟蹊径，有利于培养学生灵活的解题技能，发展学生的逻辑推理能力。

用假设法解答上题有多种思路，可以先假设全部都是鸡或全部都是兔，再计算实际与假设情况下总脚数之差，最后推理出鸡和兔的只数。比如假设20只都是鸡，那么兔有（54-20×2）÷（4-2）=7（只），鸡有20-7=13（只）。运用假设法解题是教学的难点，所以我们一般是先让学生用 “画图法”，学生会在直观操作活动中通过数形结合而建立思维的表象，再进一步抽象，这样有助于学生真正理解“假设法”，形成有序地、严密地思考问题的意识。

3、数形结合思想

利用“数形结合”，可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，使问题化难为易，化繁为简 ，激发学生学习兴趣。 因此，在教学“鸡兔同笼”问题时，根据上题中数据较小的特点让学生用画图法解题：用○表示头，用∣表示脚，先画20个头，如果每个头下都画上2只脚，数一数，共有40只脚，比题中给出的脚数少了14只。2只2只的添，添7次脚刚好54只脚。得到笼中有13只鸡和7只兔。也可以先在每个头下画上4只脚，结果比题中给出的脚数多了26只。 2只2只地划去，划13次后脚的数刚好是54只，得到相同答案。

运用数形结合，借助于形象的图形来解题，对于初次接触此类问题的学生来说，不仅学得兴趣、简单，而且能加深用假设法解题的思路的理解，发展学生的思维能力。

4、枚举思想——列表法

通过枚举解决问题就是把符合问题的所有可能答案逐个找出，并用某种形式进行整理，从而得到问题的答案。枚举是一种朴素的思想方法，又是一种实用的解决问题的策略。在学生刚接触“鸡兔同笼”问题时，学生要列式计算往往感到困难。但是，对于数据较小的问题，一些可能的答案却很容易凭经验或直觉得到，学生可以运用猜测、验证的方法，实际上就是用枚举法（即一一列举）来解决问题，学生一般用顺序枚举法，按从大到小或从小到大依次枚举，可以有效避免疏漏或重复。枚举法常常借助于列表来及时记录了每一种可能的结果。 例如例题应用此法可得到鸡有13只、兔有7只。

当数据较大时，可以引导学生根据数据的特点按一定的间隔或从中间数开始列举，也就是跳跃列表法和折中列表法，不断优化枚举法，灵活快捷地解决问题。

5、方程思想

方程是刻画现实世界的有效模型，通过把生活语言“翻译”成代数语言，根据问题中的已知数和未知数之间的等量关系，在已知数与未知数之间建立一个等式，这就是方程思想的由来。在“鸡兔同笼”的问题中，可以设鸡或兔中任意一种有X只，然后根据鸡、兔的只数与脚的总只数的关系列方程来解答。例如设兔有X只，则鸡有（20－X）只，可列方程 ：4X＋2(20－X)=54，解得X=7，于是鸡有：20－7＝13（只）。方程解法思路比较简单，且具有一般性，教学中要突出方程解法的优越性，不断渗透方程思想。

6、建模思想：

在小学阶段，教学中教师还要重视学生建模思想的培养，使数学建模成为学生思考问题与解决问题的一种思想和方法，也就是把数学研究对象的某些特征进行抽象，用数学语言、图形或模式表达出来，建立数学模型。在解决了“鸡兔同笼”问题后，可以引导学生观察、思考，概括提炼出解题模型：兔数=（实际的脚数－鸡兔总数×2）÷（4－2），鸡数=（鸡兔总数×4－实际的脚数）÷（4－2）。之后在应用中引导学生巩固、扩展这个模型，把“鸡”与“兔”换成乌龟和仙鹤等，变式为“龟鹤问题”、“坐船问题”、“植树问题”、“答题问题”等问题，沟通这些问题与“鸡兔同笼”问题的联系，使“鸡兔同笼”成为这些问题的模型，并应用模型解决问题，不断促进模型的内化。

从以上“鸡兔同笼”问题的各种解法中，可以看出一种解法中可能蕴含不同的数学思想，而不同解法中又可能蕴含同一种数学思想。我们应该根据学生的特点来合理地选择重点渗透的数学思想方法，使学生受到数学思想方法的熏陶，让学生经历“尝试猜测——数形结合——列表枚举——假设或方程解”的过程，发展学生的思维能力和解决问题的能力，使“鸡兔同笼”这个传统的数学趣题能焕发出新的夺目的光彩。