出示下图：六下第48页上方的小长方形和大长方形
师：上面的大长方形是将小长方形按比例放大后得到的。量一量、算一算、想一想，可以怎样描述这两个长方形之间的关系？
学生按要求测量、计算、思考。
生1：长方形放大后与放大前长的比是3:1，宽的比也是3:1。
生2：大长方形是把小长方形按3:1的比放大后得到的。
师：比较两个长方形，除了比较它们的边长，还可以比什么？
生：还可以比周长，比面积。
师：算一算，这两个长方形的周长比是多少？面积比呢？
学生各自按要求进行计算。
生1：大长方形与小长方形的周长比还是3:1。
生2：大长方形与小长方形的面积比是9:1。
师：面积比不是3:1吗？
生：不是。
师：你是怎样算出两个长方形面积之比的？
生1：小长方形的长是3厘米，宽是1厘米，面积是3平方厘米；大长方形的长是9厘米，宽是3厘米，面积是27平方厘米；大长方形与小长方形的面积比是27:3，化简后就是9:1。
生2：也可以将大长方形象下面这样分割成同样大的小长方形，能够直接看出大长方形与小长方形的面积比是9:1。
师：有刚才的计算结果，你还能想到些什么？
生1：长方形放大后与放大前的面积比和对应边长的比是不一样的。
生2：如果把这个长方形按不同的比放大，放大后与放大前的面积比又会怎样变化？这里面是不是存在规律呢？
【思考】认知心理学家奥苏贝尔说过：“影响学习的唯一最重要因素,就是学生已经知道了什么,要探明这一点，并应据此进行教学。”上面的教学活动从学生相对熟悉的“放大图形”的情境入手，先引导学生通过测量、计算和思考，从不同角度描述放大前后两个长方形之间的关系；再启发他们由两个长方形对应边长的比，进一步联想到周长比和面积比。由此出发，引导学生基于求出的面积比，发现并提出值得进一步思考的问题，从而引出本节课的探索主题。这样的教学既充分利用了学生已有的知识经验，顺应了他们的学习心理，又有助于培养学生发现和提出问题的意识。此外，教学中还注意引导学生详细说明求两个长方形面积比的思考方法，这能为接下来的探索活动提供必要的支持。
【片断2】探索实践，体验怎样研究
师：刚才有同学提出，如果把一个长方形按不同的比放大，放大后与放大前的面积比又会怎样变化？这里面是不是存在某种规律？面对这样的问题，我们该怎样做？
生：可以先按不同的比将原来的小长方形放大，再通过计算进一步比较得到的数据。
师：想法很不错。请大家照这样的思路再画一画，算一算，想一想。
学生按要求操作、计算、思考。
生1：我将原来的小长方形按2:1的比放大，算出放大后与放大前的面积比是4:1。
生2：我将原来的小长方形按4:1的比放大，算出放大后与放大前的面积比是16:1。
生3：我将原来的小长方形按6:1的比放大，算出放大后与放大前的面积比是36:1。
师：比较得到的这些数据，你觉得这里面有规律吗？
沉默片刻之后，有学生举手示意。
生1：是有规律的，边长比是2:1，面积比是4:1,4＝2×2；边长比是4:1，面积比是16:1，16＝4×4；边长比是6:1，面积比是36:1，36＝6×6。
生2：我知道了，面积比就是长度比的平方！
师：其他同学明白他的意思吗？如果将一个长方形按9:1的比放大，那么放大后与放大前的面积比是多少？如果将一个长方形按n:1的比放大，那么放大后与放大前的面积比又是多少？
生：按9:1的比放大，面积比就是81:1；按n:1的比放大，面积比就是（n×n）:1。
师：n×n还可以写成什么形式？
生：n×n还可以写成n2。
师：这样，上面发现的规律可以说成——
生：将一个长方形按n:1的比放大，放大后与放大前的面积比是n2:1。
……
师：再提一个问题，如果放大的图形不是长方形，上面这个规律仍然存在吗？
生：我觉得应该是存在的，不过这只是一个猜想，我们应该继续开展研究。
师：其他同学同意他的想法吗？打算怎样开展研究？先在小组里讨论研究的方法，再按想好的方法进行研究。
学生小组活动，教师巡视，然后组织交流。
生1：我们先画了一个三角形，底是4厘米，高是1厘米，按2:1的比放大。放大后与放大前的面积比是4:1，符合上面发现的规律。
生2：我们先画了一个平行四边形，底是3厘米，高是2厘米，按3:1的比放大。放大后与放大前的面积比是9:1，也符合上面发现的规律。
生3：我们先画了一个梯形，上底是3厘米，下底是5厘米，高是2厘米，按2:1的比放大。放大后与放大前的面积比是4:1，符合上面发现的规律。
生4：我们先画了一个圆，半径是1厘米，按4:1的比放大。放大后与放大前的面积比是16:1，符合上面发现的规律。
……
师：联系大家所画的不同的图形，我们最终得到的规律是——
生：（齐）将一个图形按n:1的比放大，放大后与放大前的面积比是n2:1。
……
【思考】上面的教学没有完全按照教材设计的思路开展活动，而是根据学生在此前提出的“如果把一个长方形按不同的比放大，放大后与放大前的面积比又会怎样变化？这里面是不是存在某种规律”这个问题，引导他们将同一个长方形按不同的比放大，并计算相应的面积比；接着，鼓励学生依据得到的数据进行初步的抽象概括，归纳出“将一个长方形按n:1的比放大，放大后与放大前的面积比是n2:1”这一结论。在此基础上，启发学生继续研究不同图形放大前后的情况，既验证了猜想，又丰富了对规律的认识。此外，上述教学活动中还十分重视规律的抽象和表达，着力引导学生通过对相互关联的数据的观察和比较，逐步得出更具一般性的结论，并用含有字母的式子表示出来，有助于他们在发现和表达规律的过程中获得更多有意义的感悟。
【片断3】回顾反思，引发更多研究
师：刚才我们通过不同的例子得到一个相同的结论。仔细想一想，为什么“将一个图形按n:1的比放大，放大后与放大前的面积比是n2:1”呢？这背后的道理究竟在哪儿？
生：我觉得应该和面积的计算方法有关，因为计算面积时其实都要用两个长度相乘。
师：大家觉得他的想法有道理吗？我们不妨以长方形为例，进一步思考。放大前长方形的长和宽分别是多少？
生：长是3厘米，宽是1厘米。
师：把这个长方形按n:1的比放大后，长和宽分别是多少？
生：放大后的长是（3×n）厘米，宽是（1×n）厘米。
师：放大后的面积用含有字母的式子可以怎样表示？
生：（3×n）×（1×n）。
师：将这个连乘算式改写成（3×1）×n2，可以吗？
生：可以，只要应用乘法运算律就能做到。
师：从这个含有字母的式子中，你还能看出什么？
生1：把一个图形的边放大到原来的n倍，面积就会放大到原来的n2倍。
生2：如果把一个图形按n:1的比放大，放大后与放大前的面积比是n2:1。
……
师：从这个结论继续想开去，你还能想到什么？
生1：我在想，如果把一个图形按1:n的比缩小，缩小后与缩小前的面积比应该是1: n2。
生2：如果把一个长方体的每条棱按n:1的比放大，放大后与放大前的体积比应该是n3:1。
……
【思考】孔子曰：“不愤不启，不悱不发。举一隅不以三隅反，则不复也。”在得出本节课所要探究的规律后，上面的教学一方面引导学生结合实例进一步理解和解释规律，感受数学知识内部的本质联系；另一方面，则启发学生基于已有的规律进一步打开思路，发现并提出更多有意义的问题。这样的教学不仅能够引发学生更加全面和深入的思考，使探索规律的教学价值得到更加充分的发挥，而且有助于培养学生主动探究、积极探究的自觉性，帮助他们不断增强问题意识和研究意识，提高自主学习的能力。
