【情境描述】
一堂因式分解的习题课上，在完成了几道例题后，教师出示了以下习题：
一、选择题：
1、下列各式中，没有公因式的是（ ）
A、3a-3b与b-a B、mx+y与x+my
C. (x+y)2与-x-y D、x2-xy与(x+y)(x-y)
2、下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A. –x2+z2 B.x2-16 C.-0.36-9a2 D-n2+ m2
3、对4x2+2x-9y2-3y运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）
A.( 4x2+2x)+( -9y2-3y) B.( 4x2-9y2)+ (2x-3y)
C.( 4x2+-3y)+( 2x-9y2) D.( 4x2+2x-3y) -9y2
二、填空题：
1. 25-16x2=
2．9a2-b2=
3. 2x3-8x=
4. 3ax2+6axy+3ay2=
5. 9(m+n)2-(m-n)2=
6. (m+n)2-6(m+n)+9=
三、把下列各式分解因式:
1. 9x2-4y2 2.3a2b3+6ab2c
3.4a2-4a+1 4.y(y-5)-7(5-y)
5.x2+6y-xy-6x 6.a2-2ab+b2-c2
四、已知a+b=3,x-y=1,求a2+2ab+b2-x+y的值。
五、⊿ABC的三边是a,b,c,且-c2+a2+2ab-2bc=0,请你说明⊿ABC是等腰三角形。
【诊断剖析】
课堂练习是课堂教学的重要组成部分，是学生学习的过程中不可缺少的重要环节，是学生掌握知识、形成技能、发展智能、挖掘创新能的有效手段，是提高学生运用所学知识解决问题的能力的重要途径，高质量的练习是高质量课堂的基础。但我们发现许多教师在备课时不重视课堂练习的设计，习惯于把书本上的题目做完了事：有的教师设计的课堂练习过多地模仿例题，练习内容枯燥乏味，严重挫伤了学生的学习积极性。上述情境中，问题的设计都是比较平淡，学生在掌握基础知识和基本技能的前提下，根本不需要太多的动脑筋思考，没有“生疑——解疑——省悟”的一波三折，做题只需要照套，无法激起学习的热情，使其产生内驱力。另外，所有的学生都是做同一种习题，显得没有层次性，学习水平较高的学生感觉没有挑战性，淡而无味，“吃不饱”，而学习水平较差的学生则会感到难度太大，力不从心，“消化不良”。久而久之，学习水平较高的学生，学习数学的劲头就会慢慢减小，不能最大限度地发展自己，而学习水平较差的学生就会对数学畏而却步。
【解决方案】
《数学课程标准》指出：“人人获得必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。”在一个班级里学生个体发展存在着一定的差异，认知水平也不是整齐划一的，因此，这就要求在教学中应该充分考虑学生的个体差异。当一个问题学生充分理解或者得到解决后，这时学生所获得的信息已经转化为饱和信息，并在学生头脑中形成初步的模式，如果我们在此前提下提供一些平淡的问题给学生，即便是稍有思考价值的问题，也会失去思考的吸引力。所以，我们在将问题呈现给学生之前必须对问题进行设计、改编，或者精选习题。另外，不搞“一刀切”，要设计不同层次的习题，以适应不同水平的学生，给学生一个自主选择、协调发展的空间，让每一个学生都有机会获得充足的成功体验。在设计课堂练习时，还要根据由易到难，由简单到复杂的认识规律，设计不同层次的练习题，以适应学生的个别差异，使每一位学生都得到发展。
针对以上情境，我们可以做出以下的改进：把练习的内容分为3个层次：第一层次是基础练习，使学生初步形成技能，练习是基本的、单一的、带模仿性的；第二层次是拓展练习，使学生巩固技能，把学生巩固技能，把掌握的新技能纳入已有的知识中去，达到一定的熟练程度；第三层次是思维训练，使学生发展技能，启迪思维，开拓智力，练习的难度较大、较灵活，有一定的开放性。这样的练习组合既能体现习题的层次与坡度，使学生踏着阶梯一步一步探索，让每一位学生都能获得不同程度的成功尝试，激发其潜能；又能满足不同的思维层次学生的需要，使思考循序渐进，学生每解一题都能亲身体会到其中蕴涵的规律，领略到解题的意境和命题的构思。
〔方案〕
完成几道例题后，教师出示以下习题：
A组：（该组练习是基本的、单向的、带有模仿性和稍有变化的习题，目的是让学生对知识进行内化）
1、多项式x²+y²，x²－y²，－x²－y²，－x²+y²中，能分解因式的有_____个。
2、若多项式x²+kxy+9y²是一个完全平方式，则k的值为____。
3、如果多项式x²－mx－15能分解因式，则m的值为____。
4、把多项式a²+a－b²－b用分组分解法分解因式，不同的分组方法有_______种。
5、把下列各式分解因式：
3pq³+15p³q 3ax²－3ay4 x²+2ax－3a² 4q(1－p)³+2(p－1)²
B组：（该组练习是对基本题作较大变化‘变式题’，具有综合性和灵活性的习题，目的是让学生把知识转化为技能，对知识进行同化）
1、把下列各式分解因式：
（1）15x2n+3－25xn+1+5xn－1(n＞1且是整数)
（2）25(m²+n²)²－16(m²－n²)²
（3）(x²－x)+(x²－x)+
（4）3(x－2y)²－3x+6y
（5）(c²－b²+d²－a²)²－4(ab－cd)²
（6）(x²+x)²－14(x²+x)+24
2、已知，如图2-19，4个圆的半径都为a,用代数式表示其中阴影部分的面积，并求当a=10,π取3.14时，阴影部分的面积。
3、利用图形面积分解因式：
（1）a²+3ab+2b²(如图2-20)
（2）a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac(如图2-21)
a b b
图2-20 图2-21
C组：(该组练习是在思考性、创造性方面要求较高的习题，旨在培养学生对相关知识综合运用的能力)
1、求1998×5.2+1998×7.4—199.8×26
2、求(1—)(1—)(1—)…(1—)(1—)
3、求证：对于任意的正整数n，3n+2—2 n+2+3n—2n 一定是10的倍数。
4、已知a，b，c是△ABC的三条边，求证：代数式（a²+b²—c²）²—4a²b²的值一定是负数。
5、请写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式法来分解因式，你编的三项式是_____，分解因式的结果是______。
这样具有层次性，由浅入深，由易到难，减缓梯度的安排，使每个练习都有特定的目的和作用，以适应不同层次学生的学习需求。
【问题延伸】
著名教育家苏霍姆林斯基曾经提出过这样一个十分精辟的见解，他说：“如果把掌握知识的过程比喻为建造一幢大房子，那么老师应提供给学生的只是建筑材料，如：砖头、灰浆等。把这一切砌垒起来的工作应当由学生去做。”这里所说的做，就是指运用，指练习。学生必须通过练习才能深刻理解知识，牢固掌握知识。因而，习题设计的重要性是不言而喻的。从教材内容和学生基础这两个方面去考虑，如何使练习的设计更具有针对性？从题型的多样化和练习方式的多样化两个方面去考虑，如何使练习的设计更具合理性？从数量和质量这两个方面去考虑，如何使练习的设计尽力做到在有限的时间里，取得最佳的练习效果，使它更具有实效性？这些，需要我们进一步探索和思考。
