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高一数学试卷
作者:董瑞 发表时间:2023年12月09日 浏览量:0 分享到空间
2022-2023学年度1月同步练习
第I卷(选择题)
1.
已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+
A.﹣2 B.0 C.1 D.2
2.
已知f(x)=ax5+bx3+cx+1(a≠0),若f=m,则f(﹣2014)=( )
A.﹣m B.m C.0 D.2﹣m
3.
已知函数f(x)对任意的x1,x2∈(﹣1,0)都有,且函数y=f(x﹣1)是偶函数.则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
4.
已知f(x)=x5﹣ax3+bx+2,且f(﹣5)=3,则f(5)+f(﹣5)的值为( )
A.0 B.4 C.6 D.1
5.
若函数f(x)为定义在R上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为( )
A.(﹣2,0)∪(2,+∞) B.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) D.(﹣2,0)∪(0,2)
6.
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣2x,则f(x)在R上的表达式是( )
A.y=x(x﹣2) B.y=x(|x|﹣1) C.y=|x|(x﹣2) D.y=x(|x|﹣2)
7.
已知函数f(x)=|x+a|﹣|x﹣a|(a≠0),,则f(x),h(x)的奇偶性依次为( )
A.偶函数,奇函数 B.奇函数,偶函数
C.偶函数,偶函数 D.奇函数,奇函数
8.
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,,若∀x∈R,f(x﹣1)≤f(x),则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.
已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,在(﹣∞,0]上单调递减,且有f(2)=0,则使得(x﹣1)•f(log3x)<0的x的范围为( )
A.(1,2) B.
C. D.
10.
设f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(﹣3)=0,则x•f(x)<0的解集是( )
A.{x|﹣3<x<0或x>3} B.{x|x<﹣3或0<x<3}
C.{x|x<﹣3或x>3} D.{x|﹣3<x<0或0<x<3}
11.
若函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=2x,则f(﹣2)的值是( )
A.﹣4 B. C. D.4
12.
下列函数中,是奇函数且在区间(﹣∞,0)上为增函数的是( )
A.y=x3+3 B.y=x3 C.y=x﹣1 D.y=ex
13.
已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣2x,则在R上f(x)的表达式是( )
A.﹣x(x﹣2) B.x(|x|﹣2) C.|x|(x﹣2) D.|x|(|x|﹣2)
14.
已知奇函数f(x)在[﹣1,0]上为单调减函数,又α,β为锐角三角形内角,则( )
A. f(cosα)>f(cosβ) B.f(sinα)>f(sinβ) C.f(sinα)<f(cosβ) D.f(sinα)>f(cosβ)
15.
若函数y=x2+ax+3为偶函数,则a=( )
A.2 B.1 C.﹣1 D.0
16.
定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)内单调递减,则下列判断正确的是( )
A.f(2a)<f(﹣a) B.f(π)>f(﹣3) C. D.f(a2+1)<f(1)
17.
已知函数y=f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2﹣2x+3,则当x<0时,f(x)的解析式( )
A.f(x)=﹣x2+2x﹣3 B.f(x)=﹣x2﹣2x﹣3 C.f(x)=x2﹣2x+3 D.f(x)=﹣x2﹣2x+3
18.
定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数,在[7,+∞)上是减函数,又f(7)=6,则f(x)( )
A.在[﹣7,0]上是增函数,且最大值是6
B.在[﹣7,0]上是增函数,且最小值是6
C.在[﹣7,0]上是减函数,且最小值是6
D.在[﹣7,0]上是减函数,且最大值是6
19.
下列函数中,为偶函数的是( )
A.y=x+1 B.y= C.y=x4 D.y=x5
20.
若函数f(x)(x∈R)是奇函数,函数g(x)(x∈R)是偶函数,则( )
A.函数f[g(x)]是奇函数 B.函数g[f(x)]是奇函数
C.函数f(x)•g(x)是奇函数 D.函数f(x)+g(x)是奇函数
21.
如果奇函数f(x)在区间[﹣10,﹣4]上是减函数且最大值为9,那么f(x)在区间[4,10]上是( )
A.增函数且最小值是﹣9 B.增函数且最大值是﹣9
C.减函数且最大值是﹣9 D.减函数且最小值是﹣9
22.
下列函数是偶函数的是( )
A.y=x B.y=2x2﹣3 C.y= D.y=x2,x∈[0,1]
23.
定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=﹣f(x),且在[﹣1,0]上单调递增,a=f(3),b=f(),c=f(2),则a,b,c大小关系是 ( )
A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a
24.
f(x)是定义在R上的奇函数,下列结论中,不正确的是( )
A.f(﹣x)+f(x)=0 B.f(﹣x)﹣f(x)=﹣2f(x) C.f(x)•f(﹣x)≤0 D.=﹣1
25.
函数y=f(x)满足对任意x1,x2∈(x1≠x2),>0,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是( )
A.f(1)<f()<f() B.f()<f(1)<f()
C.f()<f()<f(1) D.f()<f(1)<f()
26.
已知定义域为R的偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,则( )
A.f(4)>f(3) B.f(﹣5)>f(5) C.f(﹣3)>f(﹣5) D.f(3)>f(﹣6)
27.
下列函数是奇函数的是( )
A.y=x B.y=2x2 C.y=2x D.y=x2,x∈[0,1]
28.
设f(x)=lg(+a)是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(﹣∞,0) D.(﹣∞,0)∪(1,+∞)
29.
如果设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=0,则不等式<0的解集为( )
A.(﹣2,0)∪(2,+∞) B.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) D.(﹣2,0)∪(0,2)
30.
设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+b,则f(﹣1)=( )
A.0 B.2 C.﹣2 D.1
31.
下列函数中既是偶函数又在(﹣∞,0)上是增函数的是( )
A.y=x B.y=x C.y=x﹣2 D.y=x
32.
定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上递增,,则满足的取值范围是( )
A. B.(0,+∞) C. D.
33.
定义在R上的奇函数f(x),满足,且在(0,+∞)上单调递减,则xf(x)>0的解集为( )
A. B.
C. D.
34.
若偶函数f(x)在(﹣∞,﹣1]上是增函数,则下列关系式中成立的是( )
A.f(﹣)<f(﹣1)<f(2) B.f(﹣1)<f(﹣)<f(2) C.f(2)<f(﹣1)<f(﹣) D.f(2)<f(﹣)<f(﹣1)
35.
已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时f(x)=x(1﹣x),则当x<0时f(x)的解析式是f(x)=( )
A.﹣x(x﹣1) B.﹣x(x+1) C.x(x﹣1) D.x(x+1)
36.
如果偶函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5,那么f(x)在区间[﹣7,﹣3]上是( )
A.减函数且最大值是5 B.增函数且最大值是﹣5
C.减函数且最大值是﹣5 D.增函数且最小值是5
37.
已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时f(x)=x(1﹣x),则当x<0时f(x)的解析式是f(x)=( )
A.﹣x(x﹣1) B.﹣x(x+1) C.x(x﹣1) D.x(x+1)
38.
已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=2x2﹣2x+1,则f(﹣1)=( )
A.3 B.﹣3 C.2 D.﹣2
39.
定义在R上的奇函数f(x),满足f(1)=0,且在(0,+∞)上单调递增,则xf(x)>0的解集为( )
A.{x|x<﹣1或x>1} B.{x|0<x<1或﹣1<x<0}
C.{x|0<x<1或x<﹣1} D.{x|﹣1<x<0或x>1}
40.
若函数f(x)=kax﹣a﹣x(a>0且a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=loga(x+k)的图象是( )
A. B. C. D.
41.
设定义在区间(﹣b,b)上的函数是奇函数(a,b∈R,且a≠﹣2),则ab的取值范围是( )
A. B. C. D.
第II卷(非选择题)
42.
给出下列四种说法,说法正确的有__________(请填写序号)
①函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=logaax(a>0,且a≠1)的定义域相同;
②函数f(x)=和y=都是既奇又偶的函数;
③已知对任意的非零实数x都有=2x+1,则f(2)=﹣;
④函数f(x)在(a,b]和(b,c)上都是增函数,则函数f(x)在(a,c)上一定是增函数.
43.
若函数f(x)在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数,且在(0,+∞)上是单调增函数,f(﹣2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为 .
44.
若是偶函数,则a=__________.
45.
函数f(x)=x(ax+1)在R上是奇函数,则a= .
46.
已知f(x)是定义在[(﹣2,0)∪(0,2)]上的奇函数,当x>0,f(x)的图象如图所示,那么f(x)的值域是 .
47.
已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=2x﹣3,则当x<0时,f(x)= .
48.
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣2x,则当x<0时,f(x)= .
49.
已知奇函数f (﹣2)=5,则f ( 2 )= .
50.
若函数f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,又f(4)=0,则<0的解集 .
51.
已知f(x)=3kx3+﹣2(k∈R),f(lg7)=1(k∈R),则f(lg)= .
52.
设f(x)=ax5+bx3+cx﹣5(a,b,c是常数)且f(﹣7)=7,则f(7)= .
53.
已知f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x(x+1)+2,则当x>0时,f(x)= .
54.
已知奇函数y=f(x)在定义域R上是单调减函数,且f(a+1)+f(2a)>0,则a的取值范围是 .
55.
已知函数f(x)=x3+x+a是奇函数,则实数a= .
56.
定义在(﹣1,1)上的奇函数f(x)=,则常数m= ,n= .
57.
已知函数f(x)的定义域为(3﹣2a,a+1),且f(x﹣1)为偶函数,则实数a的值是 .
58.
设a为常数且a<0,y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x+﹣2,若f(x)≥a2﹣1对一切x≥0都成立,则a的取值范围为 .
59.
设奇函数f(x)的定义域为[﹣5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图,则不等式f(x)<0的解集是 .
60.
已知:定义在R上的函数f(x),对于任意实数a,b都满足f(a+b)=f(a)f(b),且f(1)≠0,当x>0时,f(x)>1.
(Ⅰ)求f(0)的值;
(Ⅱ)证明f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数;
(Ⅲ)求不等式f(x2+x)<的解集.
61.
已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x﹣x2.
(Ⅰ)求y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)问是否存在这样的正数a,b使得当x∈[a,b]时,函数g(x)=f(x)的值域为[,],若存在,求出所有a,b的值,若不存在,说明理由.
62.
已知定义在区间(﹣1,1)上的函数是奇函数,且,
(1)确定y=f(x)的解析式;
(2)判断y=f(x)的单调性并用定义证明.
63.
已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求b的值;
(2)判断并证明函数f(x)的单调性;
(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0有解,求k的取值范围.
64.
已知f(x)=是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)判断函数f(x)在(﹣∞,﹣1)上的单调性,并加以证明.
65.
若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.
(1)写出函数f(x)(x∈R)的解析式.
(2)若函数g(x)=f(x)﹣4x+2(x∈[1,2]),求函数g(x)的最小值.
66.
已知函数f(x)=.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在R上的单调性,并用定义证明;
(3)是否存在实数t,使不等式f(x﹣t)+f(x2﹣t2)≥0对一切x∈[1,2]恒成立?若存在,求出t的取值范围;若不存在,请说明理由.
67.
已知函数f(x)=(ax+a﹣x),(a>0且a≠1).
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)若函数f(x)的图象过点(2,),求f(x).
68.
(14分)已知指数函数y=g(x)满足:g(3)=8,定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(Ⅰ)确定y=g(x),y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)若h(x)=f(x)+a在(﹣1,1)上有零点,求a的取值范围;
(Ⅲ)若对任意的t∈(1,4),不等式f(2t﹣3)+f(t﹣k)>0恒成立,求实数k的取值范围.
69.
已知函数f(x)=(x≠1).
(Ⅰ)证明f(x)在(1,+∞)上是减函数;
(Ⅱ)令g(x)=lnf(x),试讨论g(x)=lnf(x)的奇偶性.
70.
已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R,F(x)=,设m>0,n<0,m+n>0,a>0且f(x)为偶函数,判断F(m)+F(n)能否大于零?
71.
函数f(x)=x+.
(1)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论.
(2)用函数单调性的定义证明函数f(x)在[,+∞)内是增函数.
72.
(16分)已知函数f(x)=|x+1|+|x﹣1|.
(Ⅰ)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)作出函数f(x)的图象,并求其单调减区间.
73.
(13分)已知函数f(x)对一切实数x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,又f(3)=﹣2.
(1)试判定该函数的奇偶性;
(2)试判断该函数在R上的单调性;
(3)求f(x)在[﹣12,12]上的最大值和最小值.
74.(1)设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),求g(x)的表达式.
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=﹣(1+x),求f(x)的解析式.
75.(16分)已知函数f(x)=2x(x∈R),
(1)解不等式f(x)﹣f(2x)>16﹣9×2x;
(2)若函数q(x)=f(x)﹣f(2x)﹣m在[﹣1,1]上有零点,求m的取值范围;
(3)若函数f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,若不等式2ag(x)+h(2x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立,求实数a的取值范围.
76.(13分)已知奇函数f(x)=px++r(实数p、q、r为常数),且满足f(1)=,f(2)=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)试判断函数f(x)在区间(0,]上的单调性,并用函数单调性定义证明;(3)当x∈(0,]时,函数f(x)≥2﹣m恒成立,求实数m的取值范围.
77.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x﹣1,
(1)求f(﹣1)的值.
(2)求当x<0时f(x)的解析式.
78.判断下列各函数的奇偶性
(1)f(x)=|x+2|+|x﹣2|
(2).
79.已知定义域为R的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2﹣3.
(1)当x<0时,求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在R上的解析式;
(3)解方程f(x)=2x.
80.已知函数为偶函数.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)记集合E={y|y=f(x),x∈{﹣1,1,2}},,判断λ与E的关系;
(Ⅲ)当x∈(m>0,n>0)时,若函数f(x)的值域为,求m,n的值.
81.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.
(1)写出函数f(x),x∈R的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)﹣2ax+2,x∈,求函数g(x)的最小值h(a).
82.已知定义域为R的函数是奇函数.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若对任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范围.
83.已知函数f(x)=x﹣的图象的经过点(2,1)
(1)求a的值;
(2)判断f(x)的奇偶性.
84.设f(x)是定义在R上的偶函数,在区间(﹣∞,0)上单调递增,且满足f(﹣a2+2a﹣5)<f(2a2+a+1),求实数a的取值范围.
85.对于函数f(x)=,
(1)求函数的定义域;
(2)当a为何值时,f(x)为奇函数;
(3)用定义证明(2)中的函数在(0,+∞)上是单调递减的.
86.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.
(1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示,请补出完整函数f(x)的图象,并根据图象写出函数f(x)的增区间;
(2)写出函数f(x)的解析式和值域.
87.已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求a的值;
(2)若对任意的x∈R,不等式f(x2﹣2x)+f(t﹣x)>0恒成立,求t的取值范围.
88.已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1﹣x)其中(a>0且a≠1).
(1)判断f(x)﹣g(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)求使f(x)﹣g(x)>0成立的x的集合.
89.对于函数f(x)=a﹣(a∈R,a>0,且a≠1).
(1)先判断函数y=f(x)的单调性,再证明之;
(2)实数a=1时,证明函数y=f(x)为奇函数;
(3)求使f(x)=m,(x∈[0,1])有解的实数m的取值范围.
90.定义在[﹣1,1]上的函数y=f(x)是增函数,且是奇函数,若f(a﹣1)+f(4a﹣5)>0,求实数a的取值范围.
91.已知函数f(x)=.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在R上的单调性,并用定义证明;
(3)是否存在实数t,使不等式f(x﹣t)+f(x2﹣t2)≥0对一切x∈[1,2]恒成立?若存在,求出t的取值范围;若不存在,请说明理由.
92.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2+2x.
(1)写出函数f(x)在x∈R的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)﹣2ax+2(x∈[1,2]),求函数g(x)的最小值.
93.已知函数f(x)是定义在区间[﹣1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若对于任意的m、n∈[﹣1,1]有.
(1)判断并证明函数的单调性;
(2)解不等式;
(3)若f(x)≤﹣2at+2对于任意的x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求实数t的取值范围.
94.已知f(x)=log2
(1)判断f(x)奇偶性并证明;
(2)判断f(x)单调性并用单调性定义证明;
(3)若,求实数x的取值范围.
95.已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)试判断函数的单调性并加以证明;
(3)对任意的x∈R,不等式f(x)<m恒成立,求实数m的取值范围.
96.已知函数f(x)=+(a>0,a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)求a的取值范围,使xf(x)>0在定义域上恒成立.
97.已知函数f(x)是奇函数,且定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞).若x<0时,f(x)=lg.
(1)求f(x)的解析式;
(2)解关于x的不等式f(x)>0.
98.设是R上的奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判定f(x)在R上的单调性.
99.设函数f(x)=2x﹣m.
(1)当m=8时,求函数f(x)的零点.
(2)当m=﹣1时,判断g(x)=的奇偶性并给予证明.
100.
已知函数g(x)=f(x)+3x(x∈R)为奇函数.
(Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)若x>0时,f(x)=log3x,求函数g(x)的解析式.
试卷答案
1.A
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由奇函数定义得,f(﹣1)=﹣f(1),根据x>0的解析式,求出f(1),从而得到f(﹣1).
【解答】解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(﹣x)=﹣f(x),f(﹣1)=﹣f(1),
又当x>0时,f(x)=x2+,
∴f(1)=12+1=2,∴f(﹣1)=﹣2,
故选:A.
【点评】本题考查函数的奇偶性及运用,主要是奇函数的定义及运用,解题时要注意自变量的范围,正确应用解析式求函数值,本题属于基础题.
2.D
考点:函数奇偶性的性质.
专题:函数的性质及应用.
分析:根据f=m,可以得到20145a+20143b+2014c的值,然后把x=﹣2014代入所求代数式,整体代换20145a+20143b+2014c的值,即可求得f(﹣2014)的值.
解答:解:∵f(x)=ax5+bx3+cx+1,
∵1f=20135a+20133b+2013c+7=24+1=m,
∴20145a+20143b+2014c=m﹣1,
∴f(﹣2014)=a×(﹣2013)5+b×(﹣2013)3+c×(﹣2013)+1=﹣+1=2﹣m,
∴f(﹣2014)=2﹣m.
故选:D.
点评:本题考查了求函数的值,解题的关键是利用“整体代入法”求函数的值,在整体代换的过程中运用了函数的奇偶性.属于基础题.
3.D
考点:函数奇偶性的性质.
专题:函数的性质及应用.
分析:根据已知条件即得f(x)在(﹣1,0)上单调递减,f(﹣x﹣1)=f(x﹣1),所以f()=f(﹣),而都在f(x)的单调递减区间上,所以可比较对应三个函数值的大小.
解答:解:由已知条件可知,f(x)在(﹣1,0)上单调递减;
∵y=f(x﹣1)是偶函数;
∴f(﹣x﹣1)=f(x﹣1);
∴;
∵f(x)在(﹣1,0)上单调递减,且;
∴;
即f()<f(﹣)<f(﹣1).
故选D.
点评:考查单调递减函数的定义,以及偶函数的概念,根据函数单调性比较函数值的大小
4.B
考点:函数奇偶性的性质.
专题:计算题;转化思想;函数的性质及应用.
分析:根据已知中f(x)=x5﹣ax3+bx+2,可得f(x)+f(﹣x)=4,解得答案.
解答:解:∵f(x)=x5﹣ax3+bx+2,
∴f(﹣x)=﹣(x5﹣ax3+bx)+2,
∴f(x)+f(﹣x)=4,
故选:B
点评:本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,熟练掌握函数奇偶性是性质是解答的关键
5.D
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】根据函数的奇偶性求出f(﹣2)=0,xf(x)<0分成两类,分别利用函数的单调性进行求解.
【解答】解:∵f(x)为奇函数,且满足f(2)=0,且在(0,+∞)上是增函数,
∴f(﹣2)=﹣f(2)=0,f(x)在(﹣∞,0)内是增函数
∵xf(x)<0,
∴或
根据在(﹣∞,0)内是增函数,在(0,+∞)内是增函数
解得:x∈(0,2)∪(﹣2,0).
故选:D.
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的性质,以及函数单调性的应用等有关知识,属于基础题.
6.D
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据函数奇偶性的性质,将x<0,转化为﹣x>0,即可求f(x)的表达式.
【解答】解:当x<0时,﹣x>0,
∵当x≥0时,f(x)=x2﹣2x,
∴f(﹣x)=x2+2x,
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(﹣x)=x2+2x=﹣f(x),
∴f(x)=﹣x2﹣2x=﹣x(x+2)=x(﹣x﹣2),(x<0),
∴y=f(x)=x(|x|﹣2),
故选:D.
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用,利用函数奇偶性的对称性是解决本题的关键.
7.D
考点:函数奇偶性的判断.
专题:函数的性质及应用.
分析:根据函数奇偶性的定义,根据绝对值的性质,判断f(﹣x)与f(x)的关系,可以判断f(x)的奇偶性,分类讨论h(﹣x)与h(x)的关系,可以判断h(x)的奇偶性
解答:解:∵f(x)=|x+a|﹣|x﹣a|(a≠0),
∴f(﹣x)=|﹣x+a|﹣|﹣x﹣a|=|x﹣a|﹣|x+a|=﹣f(x)
∴f(x)为奇函数;
∵,
当x>0时,﹣x<0,
h(﹣x)=(﹣x)2+(﹣x)=x2﹣x=﹣h(x),
当x<0时,﹣x>0,
h(﹣x)=﹣(﹣x)2+(﹣x)=﹣x2﹣x=﹣h(x)
当x=0时,h(0)=0,也满足h(﹣x)=﹣h(x)
故h(x)为奇函数;
故选D
点评:本题考查的知识点是函数奇偶性的判断,其中熟练掌握函数奇偶性的定义是解答的关键
8.A
考点:命题的真假判断与应用;全称命题.
专题:转化思想;函数的性质及应用;简易逻辑.
分析:把x≥0时的f(x)改写成分段函数,求出其最小值,由函数的奇偶性可得x<0时的函数的最大值,由对∀x∈R,都有f(x﹣1)≤f(x),可得4a2﹣(﹣4a2)≤1,求解该不等式得答案.
解答:解:当x≥0时,
f(x)=,
由f(x)=,x≥a2,得f(x)≥﹣a2;
由f(x)=,0≤x<a2,得f(x)>﹣a2.
∴当x≥0时,.
∵函数f(x)为奇函数,
∴当x<0时,.
∵对∀x∈R,都有f(x﹣1)≤f(x),如图,
∴4a2﹣(﹣4a2)≤1,即8a2≤1,解得:﹣≤a≤.
∴实数a的取值范围是.
故选:A.
点评:本题考查了恒成立问题,考查了函数奇偶性的性质,运用了数学转化思想方法,解答此题的关键是由对∀x∈R,都有f(x﹣1)≤f(x)得到不等式4a2﹣(﹣4a2)≤1,是中档题
9.C
考点:奇偶性与单调性的综合.
专题:综合题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.
分析:根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化即可得到结论.
解答:解:∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(﹣∞,0]上是减函数,
∴函数f(x)在
∴0<x<或1<x<9
故选:C.
点评:本题主要考查不等式的解集,利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键
10.D
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】计算题;分类讨论;转化思想.
【分析】由x•f(x)<0对x>0或x<0进行讨论,把不等式x•f(x)<0转化为f(x)>0或f(x)<0的问题解决,根据f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(﹣3)=0,把函数值不等式转化为自变量不等式,求得结果.
【解答】解;∵f(x)是奇函数,f(﹣3)=0,且在(0,+∞)内是增函数,
∴f(3)=0,且在(﹣∞,0)内是增函数,
∵x•f(x)<0
∴1°当x>0时,f(x)<0=f(3)
∴0<x<3
2°当x<0时,f(x)>0=f(﹣3)
∴﹣3<x<0.
3°当x=0时,不等式的解集为∅.
综上,x•f(x)<0的解集是{x|0<x<3或﹣3<x<0}.
故选D.
【点评】考查函数的奇偶性和单调性解不等式,体现了分类讨论的思想方法,属基础题.
11.A
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】先根据函数f(x)是R上的奇函数将f(﹣2)转化成求f(2)的值,代入当x>0时f(x)的解析式中即可求出所求.
【解答】解:函数f(x)是R上的奇函数则f(﹣x)=﹣f(x)
∴f(﹣2)=﹣f(2)
∵当x>0时,f(x)=2x,
∴f(2)=4,则f(﹣2)=﹣f(2)=﹣4.
故选:A.
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质,通常将某些值根据奇偶性转化到已知的区间上进行求解,属于基础题.
12.B
【考点】函数奇偶性的判断;奇偶性与单调性的综合.
【专题】函数思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义进行判断即可.
【解答】解:=x3+3是增函数,为非奇非偶函数,不满足条件
y=x3在定义域内既是奇函数又是增函数的,满足条件.
y=x﹣1在定义域内是奇函数,则在区间(﹣∞,0)上为减函数,不满足条件.
y=ex为增函数,为非奇非偶函数,不满足条件.
故选:B
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,要求熟练掌握掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质.
13.B
【考点】函数奇偶性的性质;函数的表示方法.
【分析】设x<0,则﹣x>0,利用当x≥0时f(x)的解析式,求出f(﹣x)的解析式,再利用奇函数的定义,求出x<0时的解析式,综合在一起,可得在R上f(x)的表达式.
【解答】解:设x<0,则﹣x>0,
∵当x≥0时,f(x)=x2﹣2x,
∴f(﹣x)=(﹣x)2﹣2(﹣x)=x2+2x,
又∵y=f(x)是定义在R上的奇函数,f(﹣x)=﹣f(x),
∴﹣f(x)=x2+2x,
∴f(x)=﹣x2﹣2x,
故则在R上f(x)的表达式是 x(|x|﹣2),
故选B.
【点评】本题考查利用奇函数的定义求函数的解析式的方法.
14.C
【考点】余弦函数的单调性.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】由“奇函数y=f(x)在[﹣1,0]上为单调递减函数”可知f(x)在[0,1]上为单调递减函数,再由“α、β为锐角三角形的两内角”可得到α+β>,转化为α>﹣β,两边再取正弦,可得sinα>sin(﹣β)=cosβ>0,由函数的单调性可得结论.
【解答】解:∵奇函数y=f(x)在[﹣1,0]上为单调递减函数,
∴f(x)在[0,1]上为单调递减函数,
∴f(x)在[﹣1,1]上为单调递减函数,
又α、β为锐角三角形的两内角,
∴α+β>,
∴α>﹣β,
∴sinα>sin(﹣β)=cosβ>0,
∴f(sinα)<f(cosβ).
故选C.
【点评】题主要考查奇偶性和单调性的综合运用,还考查了三角函数的单调性.属中档题.
15.D
【考点】二次函数的性质.
【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】可设y=f(x),从而根据f(x)为R上的偶函数便有f(﹣1)=f(1),这样即可求出a.
【解答】解:设y=f(x),f(x)为R上的偶函数;
∴f(﹣1)=f(1);
即4﹣a=4+a;
∴a=0.
故选D.
【点评】考查偶函数的定义,本题也可根据f(﹣x)=f(x)求a.
16.C
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】函数思想;分析法;函数的性质及应用.
【分析】偶函数f(x)在[0,+∞)内单调递减可得f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,结合偶函数的性质可逐项分析找到答案.
【解答】解:∵偶函数f(x)在[0,+∞)内单调递减,
∴f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,
对于A,当a=0时,f(2a)=f(﹣a)=f(0),故A错误.
对于B,f(π)<f(3)=f(﹣3),故B错误.
对于C,f(﹣)=f()<f(),故C正确.
对于D,当a=0时,f(a2+1)=f(1),故D错误.
故选C.
【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性的应用,利用奇偶性转化为同一单调区间上比较大小是解题关键.
17.B
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据函数奇偶性的性质,将x<0转化为x>0即可求出函数的解析式.
【解答】解:若x<0,则﹣x>0,
∵当x>0时,f(x)=x2﹣2x+3,
∴f(﹣x)=x2+2x+3,
∵函数f(x)是奇函数,
∴f(﹣x)=x2+2x+3=﹣f(x),
∴f(x)=﹣x2﹣2x﹣3,x<0.
故选:B.
【点评】本题主要考查函数解析式的求法,利用函数奇偶性的性质将条件进行转化是解决本题的关键,比较基础.
18.D
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,即可得到结论.
【解答】解:∵函数在[0,7]上是增函数,在[7,+∞)上是减函数,
∴函数f(x)在x=7时,函数取得最大值f(7)=6,
∵函数f(x)是偶函数,
∴在[﹣7,0]上是减函数,且最大值是6,
故选:D
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,根据偶函数的对称性是解决本题的关键.
19.C
【考点】函数奇偶性的判断.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】根据偶函数的定义“对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都满足f(x)=f(﹣x),则函数f(x)为偶函数”进行判定.
【解答】解:对于A,既不是奇函数,也不是偶函数,
对于B,满足f(﹣x)=﹣f(x),是奇函数,
对于C,定义域为R,满足f(x)=f(﹣x),则是偶函数,
对于D,满足f(﹣x)=﹣f(x),是奇函数,
故选:C.
【点评】本题主要考查了偶函数的定义,同时考查了解决问题、分析问题的能力,属于基础题.
20.C
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】计算题.
【分析】令h(x)=f(x).g(x),由已知可知f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x),然后检验h(﹣x)与h(x)的关系即可判断
【解答】解:令h(x)=f(x).g(x)
∵函数f(x)是奇函数,函数g(x)是偶函数
∴f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x)
∴h(﹣x)=f(﹣x)g(﹣x)=﹣f(x).g(x)=﹣h(x)
∴h(x)=f(x).g(x)是奇函数
故选C
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的性质的简单应用,属于基础试题
21.D
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】计算题;函数思想;综合法;等差数列与等比数列.
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论.
【解答】解:∵f(x)在区间[﹣10,﹣4]上是减函数且最大值为9,
∴f(﹣10)=9,
又∵f(x)为奇函数,
∴f(x)在[4,10]上是减函数,且有最小值f(10)=﹣f(﹣10)=﹣9.
故选:D.
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系,要求熟练掌握函数性质的综合应用,属于基础题.
22.B
【考点】函数奇偶性的判断.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】偶函数满足①定义域关于原点对称;②f(﹣x)=f(x).
【解答】解:对于选项C、D函数的定义域关于原点不对称,是非奇非偶的函数;
对于选项A,是奇函数;
对于选项B定义域为R,并且f(x)=f(x)是偶函数.
故选B.
【点评】本题考查了函数奇偶性的判定;①判断函数的定义域是否关于原点对称;②如果不对称是非奇非偶的函数;如果对称,再利用定义判断f(﹣x)与f(x)的关系.
23.D
【考点】函数单调性的性质;函数奇偶性的性质;函数的周期性.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】先根据条件推断出函数为以2为周期的函数,根据f(x)是偶函数,在[﹣1,0]上单调递增推断出在[0,1]上是减函数.减函数,进而利用周期性使a=f(1),b=f(2﹣),c=f(2)=f(0)进而利用自变量的大小求得函数的大小,则a,b,c的大小可知.
【解答】解:由条件f(x+1)=﹣f(x),可以得:
f(x+2)=f((x+1)+1)=﹣f(x+1)=f(x),所以f(x)是个周期函数.周期为2.
又因为f(x)是偶函数,所以图象在[0,1]上是减函数.
a=f(3)=f(1+2)=f(1),
b=f()=f(﹣2)=f(2﹣)
c=f(2)=f(0)
0<2﹣<1
所以a<b<c
故选D
【点评】本题主要考查了函数单调性,周期性和奇偶性的应用.考查了学生分析和推理的能力.
24.D
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】常规题型.
【分析】由函数为奇函数,可得到f(﹣x)=﹣f(x)且f(0)=0,通过加减乘除来变形,可得到结论.
【解答】解:∵f(x)是定义在R上的奇函数
∴f(﹣x)=﹣f(x)且f(0)=0
可变形为:f(﹣x)+f(x)=0
f(﹣x)﹣f(x)=﹣2f(x)
f(x)•f(﹣x)≤0
而由f(0)=0
由知D不正确.
故选D
【点评】本题主要考查函数奇偶性模型的各种变形,数学建模,用模,解模的意识要加强,每一个概念,定理,公式都要从模型的意识入手.
25.B
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】由条件便可得到f(x)在上单调递增,而由f(x+2)为偶函数便有f(x+2)=f(﹣x+2),从而可得到:,这样根据f(x)在上单调递增便可比较的大小,这样便可得到的大小.
【解答】解:根据条件知,f(x)在上单调递增;
f(x+2)为偶函数;
∴f(x+2)=f(﹣x+2);
∴;
;
∵f(x)在上单调递增;
∴;
∴.
故选B.
【点评】考查偶函数的定义,增函数的定义,以及根据增函数的定义判断一个函数为增函数的方法,清楚偶函数的定义为自变量x的函数值等于﹣x的函数值,而f(x+2)的自变量为x.
26.A
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】综合题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】利用定义域为R的偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,即可得出结论.
【解答】解:∵定义域为R的偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,4>3,
∴f(4)>f(3),
故选:A.
【点评】本题考查函数的单调性,与奇偶性,比较基础.
27.A
【考点】函数奇偶性的判断.
【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】先求函数的定义域,再判定f(﹣x)与±f(x)的关系.
【解答】解:A.其定义域为R,关于原点对称,又f(﹣x)=﹣x=﹣f(x),因此是奇函数;
B.其定义域为R,关于原点对称,又f(﹣x)=2x2=f(x),因此是偶函数;
C.非奇非偶函数;
D.其定义域关于原点不对称.
故选:A.
【点评】本题考查了函数的奇偶性的判定方法、函数的定义域求法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
28.A
【考点】奇函数;对数函数的单调性与特殊点.
【分析】首先由奇函数定义,得到f(x)的解析式的关系式(本题可利用特殊值f(0)=0),求出a,
然后由对数函数的单调性解之.
【解答】解:由f(﹣x)=﹣f(x),,
,即=,
1﹣x2=(2+a)2﹣a2x2
此式恒成立,可得a2=1且(a+2)2=1,所以a=﹣1
则
即
解得﹣1<x<0
故选A
【点评】本题主要考查奇函数的定义,同时考查对数函数的单调性.
29.D
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由函数f(x)为奇函数,可得不等式即 ,即 x和f(x)异号,故有 ,或 ;再结合函数f(x)的单调性示意图可得x的范围.
【解答】解:由函数f(x)为奇函数,可得不等式即 ,即 x和f(x)异号,
故有 ,或 .
再由f(2)=0,可得f(﹣2)=0,
由函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,可得函数f(x)在(﹣∞,0)上也为增函数,
结合函数f(x)的单调性示意图可得,﹣2<x<0,或 0<x<2,
故选 D.
【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用,体现了转化、数形结合的数学思想,属于中档题.
30.C
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由定义在实数集上的奇函数满足f(0)=0求得b的值,进一步求出f(1),然后利用函数的奇偶性得答案.
【解答】解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,且x≥0时,f(x)=2x+b,
由f(0)=2×0+b=0,得b=0,
∴x≥0时,f(x)=2x,
则f(1)=2.
f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2.
故选:C.
【点评】本题考查了函数奇偶性的性质,关键是对b的求取,是基础题.
31.C
【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】依次对选项中的函数判断其奇偶性与单调性,注意函数的定义域及基本初等函数变形.
【解答】解:y=x=是偶函数,在(﹣∞,0)上单调递减;故A错误;
y=x是奇函数,在(﹣∞,0)上单调递增;故B错误;
y=x﹣2是偶函数,在(﹣∞,0)上单调递增;故C正确;
y=x的定义域为(0,+∞),故D错误.
故选C.
【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的判断,属于基础题.
32.A
【考点】复合函数的单调性;对数函数的单调性与特殊点.
【分析】先根据将题中关系式转化为,再由f(x)是偶函数且在[0,+∞)上递增可得关于x的不等式.
【解答】解:由题意得,
因为f(x)为R上的偶函数且在[0,+∞)增可得或
解得:0或x>2
故选A.
【点评】本题重要考查函数的基本性质﹣﹣单调性、奇偶性.对于不知道解析式求自变量x的范围的题一般转化为单调性求解.
33.B
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由已知中f ()=0,且在(0,+∞)上单调递减,可得f (﹣)=0,且在区间(﹣∞,0)上单调递减,分类讨论后,可得xf(x)>0的解集
【解答】解:∵函数f(x)是奇函数,在(0,+∞)上单调递减,且f ()=0,
∴f (﹣)=0,且在区间(﹣∞,0)上单调递减,
∵当x<0,当﹣<x<0时,f(x)<0,此时xf(x)>0
当x>0,当0<x<时,f(x)>0,此时xf(x)>0
综上xf(x)>0的解集为
故选B
【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用,体现了转化的数学思想,判断出f (﹣)=0,且在区间(﹣∞,0)上单调递减是解题的关键.
34.D
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】常规题型.
【分析】题目中条件:“f(x)为偶函数,”说明:“f(﹣x)=f(x)”,将不在(﹣∞,﹣1]上的数值转化成区间(﹣∞,﹣1]上,再结合f(x)在(﹣∞,﹣1]上是增函数,即可进行判断.
【解答】解:∵f(x)是偶函数,
∴f(﹣)=f(),f(﹣1)=f(1),f(﹣2)=f(2),
又f(x)在(﹣∞,﹣1]上是增函数,
∴f(﹣2)<f(﹣)<f(﹣1)
即f(2)<f(﹣)<f(﹣1)
故选D.
【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、奇偶性与单调性的综合等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于基础题.
35.D
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】利用奇函数的性质即可得出.
【解答】解:当x<0时,﹣x>0,
∵当x>0时f(x)=x(1﹣x),
∴f(﹣x)=﹣x(1+x),
∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(x)=﹣f(﹣x)=x(1+x),
故选:D.
【点评】本题考查了奇函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
36.A
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】由偶函数在关于y轴对称的区间上单调性相反及偶函数定义可选出正确答案.
【解答】解:因为偶函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,
所以f(x)在区间[﹣7,﹣3]上是减函数,
又偶函数f(x)在区间[3,7]上有最大值5,即f(x)max=f(7)=5,
则f(x)在区间[﹣7,﹣3]上的最大值f(x)max=f(﹣7)=f(7)=5,
故选:A.
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性间的关系,注意偶函数在关于y轴对称的区间上单调性相反,奇函数在关于y轴对称的区间上单调性一致.
37.D
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】利用奇函数的性质即可得出.
【解答】解:当x<0时,﹣x>0,
∵当x>0时f(x)=x(1﹣x),
∴f(﹣x)=﹣x(1+x),
∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(x)=﹣f(﹣x)=x(1+x),
故选:D.
【点评】本题考查了奇函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
38.A
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】分别将x赋值为1和﹣1,利用已知等式,集合函数得奇偶性,两式相加解得.
【解答】解:令x=1,得f(1)+g(1)=1,
令x=﹣1,得f(﹣1)+g(﹣1)=5,
又f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(﹣1)=f(1),g(﹣1)=﹣g(1),
两式相加得:f(1)+f(﹣1)+g(1)+g(﹣1)=6,
f(1)+f(1)+g(1)﹣g(1)=6,即2f(1)=6,
所以f(﹣1)=3;
故选A.
【点评】本题考查了函数奇偶性得运用,利用方程得思想求得,属于基础题.
39.A
考点:函数奇偶性的性质.
专题:函数的性质及应用.
分析:先确定函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,且f(﹣1)=0,再将不等式等价变形,即可得到结论.
解答:解:∵定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,
∴函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,且f(﹣1)=0,
∴不等式xf(x)>0等价于或
∴x>1或﹣1≤x<﹣1
∴不等式xf(x)>0的解集为{x|x>1或x<﹣1}.
故选A.
点评:本题考查函数单调性与奇偶性的结合,关键利用函数上奇函数得到对称区间得单调性,经常考查,属于基础题
40.C
【考点】函数的图象.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由函数f(x)=kax﹣a﹣x,(a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数,又是增函数,则由复合函数的性质,我们可得k=1,a>1,由此不难判断函数的图象.
【解答】解:∵函数f(x)=kax﹣a﹣x,(a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上是奇函数
则f(﹣x)+f(x)=0
即(k﹣1)(ax﹣a﹣x)=0
则k=1
又∵函数f(x)=kax﹣a﹣x,(a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上是增函数
则a>1
则g(x)=loga(x+k)=loga(x+1)
函数图象必过原点,且为增函数
故选C
【点评】若函数在其定义域为为奇函数,则f(﹣x)+f(x)=0,若函数在其定义域为为偶函数,则f(﹣x)﹣f(x)=0,这是函数奇偶性定义的变形使用,另外函数单调性的性质,在公共单调区间上:增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键.
41.A
【考点】对数函数图象与性质的综合应用;函数奇偶性的性质.
【专题】综合题.
【分析】根据定义在区间(﹣b,b)上的函数是奇函数,可确定a=2,及b的取值范围,从而可求ab的取值范围.
【解答】解:∵定义在区间(﹣b,b)上的函数是奇函数
∴f(﹣x)+f(x)=0
∴
∴
∴1﹣a2x2=1﹣4x2
∵a≠﹣2
∴a=2
∴
令,可得,∴
∵a=2,∴ab的取值范围是
故选A.
【点评】本题考查函数的性质,考查指数函数的单调性,解题的关键是确定a的值,及b的取值范围.
42.①③
考点:命题的真假判断与应用.
专题:函数思想;定义法;简易逻辑.
分析:①函数y=ax的定义域为R,函数y=logaax(a>0,且a≠1)的定义域为ax>0,x∈R;
②函数f(x)=的定义域为{﹣1,1},y=的定义域为{1}不关于原点对称,
③由,得f()+2f(x)=+1,联立可得f(x)=,代入求值即可;
④函数f(x)在(a,b]和(b,c)上都是增函数,只能说明函数的增区间为(a,b]和(b,c).
解答:解:①函数y=ax的定义域为R,函数y=logaax(a>0,且a≠1)的定义域为ax>0,x∈R,故正确;
②函数f(x)=的定义域为{﹣1,1},且f(x)=0,是既奇又偶的函数,y=的定义域为{1}不关于原点对称,故是非奇非偶函数,故错误;
③由,得f()+2f(x)=+1,联立可得f(x)=,得则f(2)=﹣,故正确;
④函数f(x)在(a,b]和(b,c)上都是增函数,只能说明函数的增区间为(a,b]和(b,c),但函数f(x)在(a,c)上不一定是增函数,故错误.
故答案为①③.
点评:考查了函数定义域的求法,函数奇偶性的判定,抽象函数的求解和单调区间的确定.属于基础题型,应熟练掌握
43.(﹣2,0)∪(0,2)
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】根据函数的图象性质求解不等式,由于本题是一个奇函数且在区间(0,+∞)上是单调增函数,又f(﹣2)=0,可以得出函数的图象特征.由图象特征求解本题中的不等式的解集即可.
【解答】解:∵f(x)是奇函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数,又f(﹣2)=0,
∴f(2)=0,且当x<﹣2或0<x<2时,函数图象在x轴下方,如图.
当x>2或﹣2<x<0时函数图象在x轴上方.
∴xf(x)<0的解集为(﹣2,0)∪(0,2)
故答案为:(﹣2,0)∪(0,2)
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合,考查学生的计算能力,属于基础题.
44.-3
考点:正弦函数的奇偶性.
专题:三角函数的求值.
分析:利用和角公式、差角公式展开,再结合y=cosx是偶函数,由观察法解得结果.
解答:解:是偶函数,
取a=﹣3,可得为偶函数.
故答案为:﹣3.
点评:判断一个函数是偶函数的方法就是偶函数的定义,若f(﹣x)=f(x)则f(x)是偶函数.有时,仅靠这个式子会使得计算相当复杂,这时观察法就会起到重要的作用.
45.0
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据奇函数f(﹣x)=﹣f(x)即可求得a.
【解答】解:∵f(x)在R上是奇函数;
∴f(﹣x)=﹣x(﹣ax+1)=ax2﹣x=﹣x(ax+1)=﹣ax2﹣x;
∴a=0.
故答案为:0.
【点评】考查奇函数的定义,及对定义的运用.
46.(2,3]∪[﹣3,﹣2)
【考点】函数的值域;奇函数.
【专题】图表型.
【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y轴左侧的图象,欲求f(x)的值域,分两类讨论:①x>0;②x<0.结合图象即可解决问题.
【解答】解:∵f(x)是定义在[﹣2,0∪(0,2]上的奇函数,
∴作出图象关于原点对称作出其在y轴左侧的图象,如图.
由图可知:f(x)的值域是 (2,3]∪[﹣3,﹣2).
故答案为:(2,3]∪[﹣3,﹣2).
【点评】本题考查函数的图象,考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力.
47.2x+3
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用函数的奇偶性将x<0,转化为﹣x>0,即可.
【解答】解:当x<0时,则﹣x>0,所以f(﹣x)=﹣2x﹣3.
因为函数f(x)是奇函数,所以f(﹣x)=﹣f(x),
即f(﹣x)=﹣2x﹣3=﹣f(x),
解得f(x)=2x+3,x<0.
故答案为:2x+3.
【点评】本题主要考查利用函数奇偶性的性质求函数的解析式,将将x<0,转化为﹣x>0是解决本题的关键.
48.﹣x2﹣2x
【考点】函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法.
【专题】计算题.
【分析】要求x<0时的函数解析式,先设x<0,则﹣x>0,﹣x就满足函数解析式f(x)=x2﹣2x,用﹣x代替x,可得,x<0时,f(﹣x)的表达式,再根据函数的奇偶性,求出此时的f(x)即可.
【解答】解:设x<0,则﹣x>0,∵当x≥0时,f(x)=x2﹣2x,∴f(﹣x)=x2+2x,
∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣x2﹣2x,
∴当x<0时,f(x)=﹣x2﹣2x
故答案为﹣x2﹣2x
【点评】本题主要考查根据函数的奇偶性求函数的解析式,关键是先求x<0时f(﹣x)的表达式,再根据奇偶性求f(x).
49.﹣5
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】根据函数奇偶性的定义和性质即可得到结论.
【解答】解:∵函数f(x)为奇函数,且f (﹣2)=5,
∴f(2)=﹣f(﹣2)=﹣5,
故答案为:﹣5.
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用,比较基础.
50.(﹣4,0)∪(4,+∞)
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】转化思想;转化法;函数的性质及应用.
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可.
【解答】解:若函数f(x)为偶函数,则不等式<0等价为=<0,
即xf(x)<0,
∵f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,f(4)=0,
∴函数f(x)对应的图象为:
则不等式等价为x>0时,f(x)<0,此时x>4,
x<0时,f(x)>0,此时0<x<4,
综上不等式的解集为(﹣4,0)∪(4,+∞),
故答案为:(﹣4,0)∪(4,+∞)
【点评】本题主要考查不等式的求解,利用函数奇偶性的性质,作出函数的图象,利用数形结合是解决本题的关键.
51.﹣5
【考点】函数奇偶性的性质;函数的值.
【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】利用已知条件求出k,然后求解f(lg).
【解答】解:f(x)=3kx3+﹣2(k∈R),f(lg7)=1(k∈R),
可得3klg37+﹣2=1,
可得3klg37+=3.
f(lg)=f(﹣lg7)=﹣(3klg37+)﹣2=﹣5.
故答案为:﹣5.
【点评】本题考查函数值的求法,整体代入法的应用,考查计算能力.
52.﹣17
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】计算题;转化思想;函数的性质及应用.
【分析】根据已知可得f(x)+f(﹣x)=﹣10,结合f(﹣7)=7,可得答案.
【解答】解:∵f(x)=ax5+bx3+cx﹣5,
∴f(﹣x)=﹣ax5﹣bx3﹣cx﹣5,
∴f(x)+f(﹣x)=﹣10,
∵f(﹣7)=7,
∴f(7)=﹣17,
故答案为:﹣17.
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,熟练掌握函数奇偶性的性质,是解答的关键.
53.x(1﹣x)﹣2
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】由f(x)为奇函数,可得当x>0时,﹣x<0,f(x)=﹣f(﹣x)得到x>0时,f(x)的解析式,综合可得答案.
【解答】解:∵f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x(x+1)+2,
∴当x>0时,﹣x<0,f(x)=﹣f(﹣x)=﹣[﹣x(﹣x+1)+2]=x(1﹣x)﹣2,
故答案为:x(1﹣x)﹣2.
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,熟练掌握函数奇偶性的性质,是解答的关键.
54.(﹣∞,﹣)
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】转化思想;演绎法;不等式的解法及应用.
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可.
【解答】解:由f(a+1)+f(2a)>0,得f(2a)>﹣f(a+1),
∵奇函数y=f(x)在定义域R上是单调减函数,
∴f(2a)>﹣f(a+1)等价为f(2a)>f(﹣a﹣1),
即2a<﹣a﹣1,
即a<﹣,
故答案为:(﹣∞,﹣)
【点评】本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键.
55.0
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】利用R上的奇函数,满足f(0)=0建立方程,即可得到结论
【解答】解:∵函数f(x)=x3+x+a是R上的奇函数,
∴f(0)=0,
∴a=0,
故答案为:0.
【点评】本题考查函数奇偶性,考查学生的计算能力,属于基础题.
56.0;0.
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】计算题.
【分析】由题意函数f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数,利用奇函数若在0出有定义则f(0)=0,解出m的值,在利用奇函数的定义得到f(﹣1)=﹣f(1),即可解出n.
【解答】解:因为函数f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数,所以必定有f(0)=⇒m=0,
此时f(x)=,
函数f(x)是定义在(﹣1,1)上的奇函数得到f(﹣x)=﹣f(x),
即=⇒n=0.
故答案为:m=0,n=0.
【点评】此题考查了奇函数若在0出有定义则f(0)=0这一结论,还考查了奇函数的定义及求解一元一次方程.
57.6
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由y=f(x﹣1)为偶函数,可知函数y=f(x)的图象关于直线x=﹣1对称,故函数f(x)定义域的两端点关于﹣1对称.
【解答】解:由y=f(x﹣1)是偶函数,可知y=f(x)的图象关于直线x=﹣1对称
故有,
解得a=6,
故答案为:6
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质和定义,函数图象的平移变换法则,难度不大,属于基础题.
58.[﹣1,0)
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】通过讨论x的范围,得到不等式,解出即可求出a的范围.
【解答】解:当x=0时,f(x)=0,则0≥a2﹣1,解得﹣1≤a≤1,所以﹣1≤a<0
当x>0时,﹣x<0,,则
由对勾函数的图象可知,当时,有f(x)min=﹣2a+2
所以﹣2a+2≥a2﹣1,即a2+2a﹣3≤0,解得﹣3≤a≤1,又a<0
所以﹣3≤a<0,综上所述:﹣1≤a<0,
故答案为:[﹣1,0).
【点评】本题考查了函数的奇偶性问题,考查了对勾函数的单调性,是一道基础题.
59.{x|﹣2<x<0或2<x≤5}
【考点】函数奇偶性的性质;函数的图象.
【专题】数形结合.
【分析】由奇函数图象的特征画出此抽象函数的图象,结合图象解题.
【解答】解:由奇函数图象的特征可得f(x)在[﹣5,5]上的图象.
由图象可解出结果.
故答案为{x|﹣2<x<0或2<x≤5}.
【点评】本题是数形结合思想运用的典范,解题要特别注意图中的细节.
60.
【考点】抽象函数及其应用.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(Ⅰ)令a=1,b=0,得出f(1)=f(1)•f(0 ),再结合当x>0时,f(x)>1.得出f(0)=1
(Ⅱ)设x1<x2,由已知得出f(x2)=f(x1+(x2﹣x1))=f(x1)f(x2﹣x1)>f(x1),即可判断出函数f(x)在R上单调递增.
(Ⅲ)由(Ⅱ),不等式化为x2+x<﹣2x+4,解不等式即可.
【解答】解:(Ⅰ)令a=1,b=0则f(1)=f(1+0)=f(1)f(0),
∵f(1)≠0,
∴f(0)=1,
(Ⅱ)证明:当x<0时﹣x>0
由f(x)f(﹣x)=f(x﹣x)=f(0)=1,f(﹣x)>0得f(x)>0,
∴对于任意实数x,f(x)>0,
设x1<x2则x2﹣x1>0,f(x2﹣x1)>1,
∵f(x2)=f(x1+(x2﹣x1))=f(x1)f(x2﹣x1)>f(x1),
∴函数y=f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数.
(Ⅲ)∵
∴,
由(Ⅱ)可得:x2+x<﹣2x+4解得﹣4<x<1,
所以原不等式的解集是(﹣4,1).
【点评】本题考查抽象函数求函数值、单调性的判定、及单调性的应用,考查转化、牢牢把握所给的关系式,对式子中的字母准确灵活的赋值,变形构造是解决抽象函数问题常用的思路.
61.
【考点】函数奇偶性的性质;函数的值域.
【专题】分类讨论;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】(1)令x<0,则﹣x>0,由当x>0时,f(x)=2x﹣x2,可得f(﹣x)的表达式,进而根据f(x)为奇函数,f(x)=﹣f(﹣x),可得答案;
(Ⅱ)分0<a<b≤1,0<a<1<b和1≤a<b三种情况分别讨论,a,b的取值情况,最后综合讨论结果可得答案.
【解答】解:(Ⅰ)设x<0,则﹣x>0,
由f(x)=﹣f(﹣x)=﹣[2(﹣x)﹣(﹣x)2]=2x+x2,
当x=0时,f(x)=0,
故f(x)=;
(2)分下述三种情况:
①0<a<b≤1,那么>1,而当x≥0,f(x)的最大值为1,
故此时不可能使g(x)=f(x),
②若0<a<1<b,此时若g(x)=f(x),
则g(x)的最大值为g(1)=f(1)=1,得a=1,这与0<a<1<b矛盾;
③若1≤a<b,因为x≥1时,f(x)是减函数,则f(x)=2x﹣x2,
于是有⇔,
考虑到1≤a<b,
解得a=1,b=
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常方法,二次函数的性质,其中利用奇函数的性质,求出函数的解析式,并分析其性质是解答本题的关键.
62.
【考点】函数单调性的判断与证明;函数解析式的求解及常用方法.
【专题】计算题;函数思想;分析法;函数的性质及应用.
【分析】(1)根据奇函数的性质,和函数值,即可求出函数的解析式;
(2)利用函数单调性的定义进行证明即可.
【解答】解:(1)y=f(x)是奇函数,
∴f(0)=0,
∴b=0,
∵,
∴a=1,
∴f(x)=,
(2)设﹣1<x1<x2<1,
则f(x1)﹣f(x2)=﹣=,
∵﹣1<x1<x2<1,
∴x1﹣x2<0,1﹣x1x2>0,
又x12,+1>0,x22+1>0,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),
∴y=f(x)在(﹣1,1)上单调递增.
【点评】本题主要考查函数单调性的判断以及奇函数的性质,利用函数单调性的定义是解决此类问题的基本方法.
63.
解:(1)∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,f(0)==0,解得b=1.经过验证满足条件.
(2)由(1)可得:f(x)=,函数f(x)为增函数.
证明:任取实数x1<x2,则f(x1)﹣f(x2)=﹣=,
∵x1<x2,∴﹣x2<﹣x1,<,
∴﹣<0,
又>0,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,
∴函数f(x)为增函数.
(3)∵f(x)为奇函数,由不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0化为f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k),即f(t2﹣2t)<f(k﹣2t2),
又∵f(t)为增函数,t2﹣2t<k﹣2t2,∴3t2﹣2t<k.
当t=﹣时,3t2﹣2t有最小值﹣,∴k.
考点:函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.
专题:方程思想;转化思想;数形结合法;函数的性质及应用.
分析:(1)f(x)为奇函数,利用f(0)=0,解得b,并且验证即可得出..
(2)由(1)可得:f(x)=,函数f(x)为增函数.任取实数x1<x2,只要证明f(x1)﹣f(x2)<0即可.
(3)f(x)为奇函数,由不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0化为f(t2﹣2t)<f(k﹣2t2),再利用单调性即可得出.
解答:解:(1)∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,f(0)==0,解得b=1.经过验证满足条件.
(2)由(1)可得:f(x)=,函数f(x)为增函数.
证明:任取实数x1<x2,则f(x1)﹣f(x2)=﹣=,
∵x1<x2,∴﹣x2<﹣x1,<,
∴﹣<0,
又>0,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,
∴函数f(x)为增函数.
(3)∵f(x)为奇函数,由不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0化为f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k),即f(t2﹣2t)<f(k﹣2t2),
又∵f(t)为增函数,t2﹣2t<k﹣2t2,∴3t2﹣2t<k.
当t=﹣时,3t2﹣2t有最小值﹣,∴k.
点评:本题考查了不等式的性质、函数的单调性与奇偶性、二次函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
64.
解:(1)∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x);
即;
∴;
∴m=﹣m;
∴m=0;
(2)在(﹣∞,﹣1)上是单调增函数;
证明: ,设x1<x2<﹣1,则:
=;
∵x1<x2<﹣1;
∴x1﹣x2<0,x1x2>1,;
∴f(x1)<f(x2)<0;
∴f(x)在(﹣∞,﹣1)上是单调增函数
考点:函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明.
专题:函数思想;综合法;函数的性质及应用.
分析:(1)根据f(x)为奇函数,从而有f(﹣x)=﹣f(x),进一步得到,这样即可求出m=0;
(2)f(x)变成,可看出f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递增,根据增函数的定义,可设任意的x1<x2<﹣1,然后作差,通分,提取公因式x1﹣x2,证明f(x1)<f(x2)即可得出f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递增.
解答:解:(1)∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x);
即;
∴;
∴m=﹣m;
∴m=0;
(2)在(﹣∞,﹣1)上是单调增函数;
证明: ,设x1<x2<﹣1,则:
=;
∵x1<x2<﹣1;
∴x1﹣x2<0,x1x2>1,;
∴f(x1)<f(x2)<0;
∴f(x)在(﹣∞,﹣1)上是单调增函数.
点评:考查奇函数的定义,增函数的定义,根据增函数的定义判断并证明一个函数为增函数的方法和过程,作差的方法比较f(x1),f(x2),作差后是分式的一般要通分,一般要提取公因式x1﹣x2.
65.
【考点】函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义.
【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】(1)x≤0时,f(x)=x2+2x,若x>0,则﹣x<0,结合偶函数满足f(x)=f(﹣x),可得x>0时函数的解析式,综合可得答案;
(2)求出g(x)的解析式,结合二次函数的图象和性质,可得答案.
【解答】解:(1)x≤0时,f(x)=x2+2x,
若x>0,则﹣x<0,
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(x)=f(﹣x)=(﹣x)2+2(﹣x)=x2﹣2x,
则
(2)g(x)=f(x)﹣4x+2=x2﹣2x﹣4x+2=x2﹣6x+2,x∈[1,2],
∵y=x2﹣6x+2的图象是开口朝上,且以x=3为对称轴的抛物线,
故g(x)=x2﹣6x+2,x∈[1,2]为减函数,
当x=2时,函数g(x)取最小值﹣6
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,二次函数的图象和性质,难度中档.
66.
【考点】函数恒成立问题.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)根据函数奇偶性的定义即可判断f(x)的奇偶性;
(2)根据函数单调性的定义即可判断f(x)在R上的单调性,并用定义证明;
(3)结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化,利用参数分离法进行求解即可.
【解答】解:(1)函数的定义域为(﹣∞,+∞),
则f(﹣x)===﹣=﹣f(x),
则f(x)为奇函数.
(2)f(x)===1﹣,
则f(x)在R上的单调性递增,
证明:设x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)=1﹣﹣(1﹣)=(﹣)=,
∵x1<x2,
∴<,
∴﹣<0,
即f(x1)﹣f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),即函数为增函数.
(3)若存在实数t,使不等式f(x﹣t)+f(x2﹣t2)≥0对一切x∈[1,2]恒成立,
则f(x2﹣t2)≥﹣f(x﹣t)=f(t﹣x).
即x2﹣t2≥t﹣x.
即x2+x≥t2+t恒成立,
设y=x2+x=(x+)2﹣,
∵x∈[1,2],
∴y∈[2,6],
即t2+t≤2,
即t2+t﹣2≤0.
解得﹣2≤t≤1,
即存在实数t,当﹣2≤t≤1时使不等式f(x﹣t)+f(x2﹣t2)≥0对一切x∈[1,2]恒成立.
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,以及不等式恒成立问题,利用参数分离法以及定义法是解决本题的关键.
67.
【考点】函数奇偶性的判断;函数的零点.
【专题】方程思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】(1)根据函数奇偶性的定义进行判断即可.
(2)根据函数过点,代入进行求解即可.
【解答】解:(1)函数的定义域为(﹣∞,+∞),
则f(﹣x)=(a﹣x+ax)=(ax+a﹣x)=f(x),
则函数f(x)为偶函数;
(2)若函数f(x)的图象过点(2,),
则f(2)=(a2+a﹣2)=,
即a2+a﹣2=,
即a4﹣a2+1=0
即9a4﹣82a2+9=0,
解得a2=9或a2=
∵a>0且a≠1,
∴a=3或a=.
即f(x)=(3x+3﹣x).
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数解析式的求法,考查学生的计算能力,建立方程关系是解决本题的关键.
68.
【考点】函数的零点;函数解析式的求解及常用方法;函数恒成立问题.
【专题】综合题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】(Ⅰ)设g(x)=ax(a>0且a≠1),由a3=8解得a=2.故g(x)=2x.再根据函数是奇函数,求出m、n的值,得到f(x)的解析式;
(Ⅱ)根据零点存在定理得到h(﹣1)h(1)<0,解得即可;
(Ⅲ)根据函数为奇函数和减函数,转化为即对一切t∈(1,4),有3t﹣3<k恒成立,再利用函数的单调性求出函数的最值即可.
【解答】解:(Ⅰ)设g(x)=ax(a>0且a≠1),∵g(3)=8,∴a3=8,解得a=2.∴g(x)=2x.
∴f(x)=,
∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,∴=0,∴n=1,∴f(x)=
又f(﹣1)=f(1),∴=﹣,解得m=2
∴f(x)=,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)==﹣+,又h(x)=f(x)+a在(﹣1,1)上有零点,
从而h(﹣1)h(1)<0,即(﹣++a)(++a)<0,
∴(a+)(a﹣)<0,
∴﹣<a<,
∴a的取值范围为(﹣,);
(Ⅲ)由(Ⅰ)知f(x)==﹣+,
易知f(x)在R上为减函数,
又f(x)是奇函数,
∴f(2t﹣3)+f(t﹣k)>0,
∴f(2t﹣3)>﹣f(t﹣k)=f(k﹣t),
∵f(x)在R上为减函数,由上式得2t﹣3<k﹣t,
即对一切t∈(1,4),有3t﹣3<k恒成立,
令m(t)=3t﹣3,t∈(1,4),
易知m(t)在(1,4)上递增,
m(t)<3×4﹣3=9,
∴k≥9,
即实数k的取值范围是[9,+∞).
【点评】本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、属于中档题.
69.
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】综合题;函数思想;作差法;函数的性质及应用.
【分析】(Ⅰ)利用单调性的定义证题步骤:取值、作差、变形定号、下结论,即可证得;
(Ⅱ)先判断函数的奇偶性,再求出函数的定义域、g(﹣x),化简后利用函数奇偶性的定义进行判断.
【解答】证明:(Ⅰ)设1<x1<x2,则 f(x1)﹣f(x2)=﹣
==,…3分
∵1<x1<x2,∴x1﹣1>0,x2﹣1>0,∴x2﹣x1>0,
∴f(x1)﹣f(x2)>0,则f(x1)>f(x2)
∴f(x)在(1,+∞)上是减函数;…6分
解:(Ⅱ)g(x)是偶函数,原因如下:
g(x)=lnf(x)=,
由得(x+1)(x﹣1)>0,解得x>1或x<﹣1,
∴函数g(x)的定义域是{x|x>1或x<﹣1},关于原点对称,…8分
∵g(﹣x)===﹣=﹣g(x),
∴函数g(x)是偶函数…12分
【点评】本题考查函数单调性的证明及奇偶性的判断,对数函数的运算,掌握单调性的定义证题步骤是关键,考查化简、变形能力,属于中档题.
70.
【考点】函数奇偶性的性质;二次函数的性质;分段函数的应用.
【专题】综合题;转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】根据已知中函数为偶函数,可得f(x)=ax2+1,进而F(x)=,结合m>0,n<0,m+n>0,a>0,可得结论.
【解答】解:∵函数f(x)=ax2+bx+1是偶函数,
∴f(﹣x)=f(x),
即ax2﹣bx+1=ax2+bx+1,
即b=0,
∴f(x)=ax2+1,
∴F(x)==,
∵m>0,n<0,m+n>0,
则m>﹣n>0,
∴|m|>|n|,
∴F(m)+F(n)=f(m)﹣f(n)=(am2+1)﹣(an2+1)=a(m2﹣n2)>0,
即F(m)+F(n)能大于零.
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,二次函数的性质,分段函数的应用,难度中档.
71.
【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.
【专题】证明题;函数思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】(1)先确定函数的定义域,再根据奇偶性的定义作出判断;
(2)直接用定义证明函数的单调性.
【解答】解:(1)f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),
∵f(﹣x)=﹣x+=﹣(x+)=﹣f(x),
∴f(x)是奇函数;
(2)任取x1,x2∈[,+∞),且x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)=x1+﹣(x2+)
=(x1﹣x2)+(﹣)
=(x1﹣x2)(),
因为≤x1<x2,所以x1﹣x2<0且x1x2>2,
因此,f(x1)﹣f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),
故f(x)在[,+∞)内是增函数.
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断和单调性的证明,考查了奇偶性的定义和单调性的定义,属于基础题.
72.
【考点】函数奇偶性的性质;函数的图象.
【专题】函数思想;数形结合法;函数的性质及应用.
【分析】(Ⅰ)显然f(x)定义域为R,并可求出f(﹣x)=f(x),从而得出f(x)为偶函数;
(Ⅱ)去绝对值号得到,从而可画出f(x)的图象,根据图象便可得出f(x)的单调递减区间.
【解答】解:(Ⅰ)f(x)的定义域为R;
∵f(﹣x)=|﹣x+1|+|﹣x﹣1|=|x﹣1|+|x+1|=f(x);
∴f(x)为偶函数;
(Ⅱ);
图象如下所示:
由图象可看出f(x)的单调减区间为:(﹣∞,﹣1].
【点评】考查函数奇偶性的定义及其判断方法和过程,含绝对值函数的处理方法:去绝对值号,根据函数图象求函数单调减区间的方法.
73.
【考点】抽象函数及其应用;函数奇偶性的判断.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)取x=y=0有f(0)=0,取y=﹣x可得,f(﹣x)=﹣f(x);
(2)设x1<x2,由条件可得f(x2)﹣f(x1)=f(x2﹣x1)<0,从而可得结论;
(3)根据函数为减函数,得出f(12)最小,f(﹣12)最大,关键是求出f(12)=f(6)+f(6)=2f(6)=2[f(3)+f(3)]=4f(3)=﹣8,问题得以解决
【解答】解(1)令x=y=0,得f(0+0)=f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),
∴f(0)=0.
令y=﹣x,得f(0)=f(x)+f(﹣x)=0,
∴f(﹣x)=﹣f(x),
∴f(x)为奇函数.
(2)任取x1<x2,则x2﹣x1>0,
∴f(x2﹣x1)<0,
∴f(x2)﹣f(x1)=f(x2)+f(﹣x1)=f(x2﹣x1)<0,
即f(x2)<f(x1),
∴f(x)为R上的减函数,
(3)∵f(x)在[﹣12,12]上为减函数,
∴f(12)最小,f(﹣12)最大,
又f(12)=f(6)+f(6)=2f(6)=2[f(3)+f(3)]=4f(3)=﹣8,
∴f(﹣12)=﹣f(12)=8,
∴f(x)在[﹣12,12]上的最大值是8,最小值是﹣8
【点评】本题考查抽象函数及其应用,考查函数的奇偶性与单调性及函数的最值,赋值法是解决抽象函数的常用方法,属于中档题.
74.
【考点】函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法.
【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】(1)令x+2=t,则x=t﹣2,可得g(t)=f(t﹣2),即可得出.
(2)利用函数的奇偶性即可得出.
【解答】解:(1)令x+2=t,则x=t﹣2,∴g(t)=f(t﹣2)=2(t﹣2)+3=2t﹣1,
把t换成x可得:g(x)=2x﹣1.
(2)设x<0,则﹣x>0,
∵当x>0时,f(x)=﹣(1+x),
∴f(﹣x)=﹣(1﹣x),
又f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,f(x)=﹣f(﹣x)=(1﹣x).
∴f(x)=.
【点评】本题考查了函数的奇偶性、“换元法”求函数的解析式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
75.
【考点】函数与方程的综合运用;函数恒成立问题;二次函数的性质;指数函数的图像与性质.
【专题】计算题;函数思想;方程思想;转化思想;函数的性质及应用.
【分析】(1)设t=2x,利用f(x)>16﹣9×2x,转化不等式为二次不等式,求解即可.
(2)设t=2x,求出,利用二次函数的性质求解最值.然后求解m的取值范围为.
(3)利用函数的奇偶性以及函数恒成立,结合基本不等式求解函数的最值,推出结果.
【解答】解:(1)设t=2x,由f(x)>16﹣9×2x得:t﹣t2>16﹣9t,即t2﹣10t+16<0.…
∴2<t<8,即2<2x<8,∴1<x<3
∴不等式的解集为(1,3).…
(2)设t=2x,∵x∈[﹣1,1],∴,.∴f(x)的值域为.
函数有零点等价于方程有解等价于m在f(x)的值域内,
∴m的取值范围为.…
(3)由题意得解得
2ag(x)+h(2x)≥0即,对任意x∈[1,2]恒成立,
又x∈[1,2]时,令,
在上单调递增,
当时,有最大值,
所以…(16分)
【点评】本题考查函数与方程的综合应用,二次函数的性质,基本不等式以及函数恒成立的转化,考查计算能力.
76.
【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的性质;函数恒成立问题.
【专题】计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
【分析】(1)运用奇函数的定义,可得r=0,再由条件得到p,q的方程,解得即可得到解析式;
(2)运用单调性的定义证明,注意作差、变形、定符号和下结论几个步骤;
(3)运用单调性求出最小值,当x∈(0,]时,函数f(x)≥2﹣m恒成立即为f(x)min≥2﹣m,解不等式即可得到范围.
【解答】解:(1)∵f(﹣x)=﹣f(x)∴r=0
∵即有即,
则f(x)=2x+;
(2)函数f(x)在区间(0,]上单调递减.
证明:设0<m<n,则f(m)﹣f(n)=2(m﹣n)+﹣=2(m﹣n)+
=,由于0<m<n,则m﹣n<0,0<mn<,1﹣4mn>0,
则有f(m)﹣f(n)>0,即f(m)>f(n),
则函数f(x)在区间(0,]上单调递减;
(3)由(2)知,函数f(x)在区间(0,]上单调递减,则f()最小,且为2,
当x∈(0,]时,函数f(x)≥2﹣m恒成立即为f(x)min≥2﹣m,
即有2≥2﹣m,解得,m≥0.
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用,考查不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题,考查运算能力,属于中档题.
77.
【考点】函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法.
【专题】计算题;转化思想;函数的性质及应用.
【分析】(1)先求出f(1)=1,进而根据奇函数的性质,可得f(﹣1)=﹣f(1);
(2)根据已知可得f(x)为奇函数,可得f(0)=0,当x<0时,﹣x>0,f(x)=﹣f(﹣x)得到x<0时,f(x)的解析式,综合可得答案.
【解答】解:(1)∵当x>0时,f(x)=2x﹣1,
∴f(1)=1,
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣1;
(2)当x<0时,﹣x>0,
f(x)=﹣f(﹣x)=﹣2﹣x+1,
当x=0时,
f(0)=0,
∴f(x)=.
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,熟练掌握函数奇偶性的性质,是解答的关键.
78.
【考点】函数奇偶性的判断.
【专题】计算题;转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】(1)(2)先求函数的定义域,再判定f(﹣x)与±f(x)的关系,即可得出.
【解答】解:(1)其定义域为R,关于原点对称,又f(﹣x)=|﹣x+2|+|﹣x﹣2|=|x﹣2|+|x+2|=f(x),因此函数f(x)是偶函数.
(2)由,解得x=±1,可得函数的定义域为{﹣1,1}.∴f(x)=0,因此函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
【点评】本题考查了函数的奇偶性的判定方法、函数的定义域求法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
79.
【考点】函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】(1)当x<0时,﹣x>0,根据函数的奇偶性,结合当x>0时,f(x)=x2﹣3,可求出x<0时函数的表达式;
(2)f(0)=0,可得函数f(x)在R上的解析式;
(3)分类讨论解方程f(x)=2x.
【解答】解:(1)当x<0时,﹣x>0,
∵当x>0时,f(x)=x2﹣3,
∴f(﹣x)=(﹣x)2﹣3=x2﹣3,
∵f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(﹣x)=﹣f(x)
即f(x)=﹣f(﹣x)=﹣x2+3(x<0);
(2)f(0)=0,
∴f(x)=;
(3)x>0,x2﹣3=2x,可得x=1,
x=0,满足题意;
x<0,﹣x2+3=2x,可得x=﹣3,
∴方程f(x)=2x的解为1,0或﹣3.
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用,以及方程根,考查函数解析式的确定,属于中档题.
80.
【考点】利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合.
【专题】函数的性质及应用;导数的概念及应用.
【分析】(Ⅰ)根据函数为偶函数f(﹣x)=f(x),构造关于a的方程组,可得a值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)中函数f(x)的解析式,将x∈{﹣1,1,2}代入求出集合E,利用对数的运算性质求出λ,进而根据元素与集合的关系可得答案
(Ⅲ)求出函数f(x)的导函数,判断函数的单调性,进而根据函数f(x)的值域为,x∈,m>0,n>0构造关于m,n的方程组,进而得到m,n的值.
【解答】解:(Ⅰ)∵函数为偶函数.
∴f(﹣x)=f(x)
即=
∴2(a+1)x=0,
∵x为非零实数,
∴a+1=0,即a=﹣1
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
∴E={y|y=f(x),x∈{﹣1,1,2}}={0,}
而====
∴λ∈E
(Ⅲ)∵>0恒成立
∴在上为增函数
又∵函数f(x)的值域为,
∴f()=1﹣m2=2﹣3m,且f()=1﹣n2=2﹣3n,
又∵,m>0,n>0
∴m>n>0
解得m=,n=
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性,其中利用奇偶性求出a值,进而得到函数的解析式,是解答的关键.
81.
【考点】二次函数在闭区间上的最值;函数解析式的求解及常用方法.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)利用函数的奇偶性,求出分段函数的解析式.
(2)利用分类讨论思想,进一步求出函数的最值
【解答】解:(1)函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.
当x>0时,f(x)=x2﹣2x
所以:
(2)①当a+1≤1时,即a≤0,g(x)min=g(1)=1﹣2a
②当1<a+1<2时,即0<a<1
③当a+1≥2时,即a≥1g(x)min=g(2)=2﹣2a
综上:.
故答案为:(1)
(2)
【点评】本题考查的知识要点:函数的奇偶性,利用奇偶性求函数的解析式,利用分类讨论思想求函数的最值
82.
【考点】指数函数单调性的应用;奇函数.
【专题】压轴题.
【分析】(Ⅰ)利用奇函数定义,在f(﹣x)=﹣f(x)中的运用特殊值求a,b的值;
(Ⅱ)首先确定函数f(x)的单调性,然后结合奇函数的性质把不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0转化为关于t的一元二次不等式,最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,
即
又由f(1)=﹣f(﹣1)知.
所以a=2,b=1.
经检验a=2,b=1时,是奇函数.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
易知f(x)在(﹣∞,+∞)上为减函数.
又因为f(x)是奇函数,
所以f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0
等价于f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2),
因为f(x)为减函数,由上式可得:t2﹣2t>k﹣2t2.
即对一切t∈R有:3t2﹣2t﹣k>0,
从而判别式.
所以k的取值范围是k<﹣.
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用;同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略.
83.
【考点】函数奇偶性的判断.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)根据条件,即可求a的值;
(2)根据函数的奇偶性的定义即可判断f(x)的奇偶性.
【解答】解:(1)由题意可得f(2)=1﹣,所以a=2.
(2)由(1)得f(x)=x﹣=x﹣,则f(z)的定义域为(0,+∞)∪(0,+∞).
所以f(﹣x)=﹣x﹣=﹣x+=﹣f(x).
故f(x)为奇函数.
【点评】本题主要考查函数奇函数的求解,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.
84.
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】计算题;函数的性质及应用.
【分析】先确定f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,再将不等式转化为具体不等式,即可求得结论.
【解答】解:∵f(x)是定义在R上的偶函数,在区间(﹣∞,0)上单调递增,
∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减
∵a2﹣2a+5=(a﹣1)2+4>0,2a2+a+1=2(a+)2+>0,
而f(﹣a2+2a﹣5)=f(a2﹣2a+5),f(﹣a2+2a﹣5)<f(2a2+a+1),
∴a2﹣2a+5>2a2+a+1
∴a2+3a﹣4<0
∴﹣4<a<1
即实数a的取值范围是(﹣4,1).
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的结合,考查学生转化问题的能力,考查解不等式,属于中档题.
85.
【考点】函数奇偶性的性质;函数的定义域及其求法;函数单调性的判断与证明.
【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】(1)由2x﹣1≠0便可得出该函数的定义域;
(2)f(x)若为奇函数,便有f(﹣1)=﹣f(1),求出f(﹣1),f(1)带入便可得到a=1;
(3)分离常数得到,根据减函数的定义,设任意的x1>x2>0,然后作差,通分,从而证明f(x1)<f(x2)便可得到f(x)在(0,+∞)上单调递减.
【解答】解:(1)要使f(x)有意义,则2x≠1;
∴x≠0;
∴该函数定义域为{x|x≠0};
(2)若f(x)为奇函数,则:f(﹣1)=﹣f(1);
∴;
解得a=1;
即a=1时,f(x)为奇函数;
(3)证明:a=1时,f(x)=,设x1>x2>0,则:
=;
∵x1>x2>0;
∴,,;
∴f(x1)<f(x2);
∴f(x)在(0,+∞)上单调递减.
【点评】考查函数定义域的概念及求法,奇函数的定义,分离常数法的运用,以及减函数的定义,根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程,作差的方法比较f(x1),f(x2),作差后是分式的一般要通分.
86.
【考点】二次函数的图象;函数的值域;函数解析式的求解及常用方法;函数的单调性及单调区间.
【专题】计算题;作图题.
【分析】(1)因为函数为偶函数,故图象关于y轴对称,由此补出完整函数f(x)的图象即可,再由图象直接可写出f(x)的增区间.
(2)可由图象利用待定系数法求出x>0时的解析式,也可利用偶函数求解析式,值域可从图形直接观察得到.
【解答】解:(1)因为函数为偶函数,故图象关于y轴对称,补出完整函数图象如有图:
所以f(x)的递增区间是(﹣1,0),(1,+∞).
(2)设x>0,则﹣x<0,所以f(﹣x)=x2﹣2x,因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(﹣x)=f(x),所以x>0时,f(x)=x2﹣2x,
故f(x)的解析式为
值域为{y|y≥﹣1}
【点评】本题考查分段函数求解析式、作图,同时考查函数的函数的奇偶性和值域等性质.
87.
【考点】函数恒成立问题.
【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】(1)由奇函数的性质可知f(0)=0,求出a的值;
(2)先判断当x>0时,显然为增函数,利用奇函数关于原点对称可得f(x)在R上也为增函数,不等式可整理为x2﹣3x+t>0恒成立,利用判别式可求解.
【解答】解:(1)函数是奇函数,
∴f(0)=0,
∴a=1;
(2),当x>0时,显然为增函数,
∵f(x)为奇函数,
∴f(x)在R上也为增函数,
∵f(x2﹣2x)+f(t﹣x)>0恒成立,
∴x2﹣3x+t>0恒成立,
∴△=9﹣4t<0,
∴.
【点评】考查了奇函数的性质和二次函数的应用,属于基础题型,应熟练掌握.
88.
【考点】函数恒成立问题;函数奇偶性的判断.
【专题】分类讨论;定义法;函数的性质及应用.
【分析】(1)首先判断函数的定义域是否关于原点对称,定义域为{x|﹣1<x<1}关于原点对称;利用定义法.
设F(x)=f(x)﹣g(x),判断F(﹣x)=﹣F(x),得出结论;
(2)利用函数的奇偶性整理不等式为loga(x+1)>loga(1﹣x),对底数a分类讨论得出x的范围,.
【解答】解:(1)f(x)﹣g(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x),若要式子有意义,
则,即﹣1<x<1.所以所求定义域为{x|﹣1<x<1}.
设F(x)=f(x)﹣g(x),
则F(﹣x)=f(﹣x)﹣g(﹣x)=loga(﹣x+1)﹣log(1+x)=﹣[loga(x+1)﹣loga(1﹣x)]=﹣F(x),
所以f(x)﹣g(x)是奇函数.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)f(x)﹣g(x)>0,即 loga(x+1)﹣loga(1﹣x)>0,loga(x+1)>loga(1﹣x).
当0<a<1时,上述不等式等价于,解得﹣1<x<0;
当a>1时,原不等式等价于,解得0<x<1.
综上所述,当0<a<1时,原不等式的解集为{x|﹣1<x<0};
当a>1时,原不等式的解集为{x|0<x<1}.…
【点评】考查了利用定义法判断函数的奇偶性,奇偶性在不等式中的应用和对底数a的分类讨论.
89.
【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断;根的存在性及根的个数判断.
【专题】综合题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】(1)容易判断f(x)在R上为增函数,根据增函数的定义,设任意的x1,x2∈R,且x1<x2,然后作差,通分,证明f(x1)<f(x2)便可得出f(x)在R上为增函数;
(2)a=1时,通分得到f(x)=,可以得出f(﹣x)=﹣f(x),从而得出f(x)为奇函数;
(3)根据(1)f(x)在R上单调递增,从而可以求出f(x)在[0,1]上的值域,从而便可得到m的取值范围.
【解答】解:(1)x增大时,2x增大,∴f(x)增大,∴函数f(x)在定义域R上为增函数,证明如下:
设x1,x2∈R,且x1<x2,则:
=;
∵x1<x2;
<,;
又>0,>0;
∴f(x1)<f(x2);
∴f(x)在R上是增函数;
(2)证明:当a=1时,f(x)=1﹣=;
f(﹣x)===﹣f(x);
∴a=1时f(x)为奇函数;
(3)由(1)知,f(x)在R上为增函数;
∵x∈[0,1];
∴f(0)≤f(x)≤f(1);
即;
∴;
∴实数m的取值范围为.
【点评】考查指数函数的单调性,增函数的定义,根据增函数的定义判断和证明一个函数为增函数的方法和过程,以及奇函数的定义,根据增函数的定义求函数的值域.
90.
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】根据条件f(x)为奇函数,且在[﹣1,1]上为增函数,便可由f(a﹣1)+f(4a﹣5)>0得到f(a﹣1)>f(5﹣4a),进一步得到,这样解该不等式组便可得出实数a的取值范围.
【解答】解:f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数;
∴由f(a﹣1)+f(4a﹣5)>0得,f(a﹣1)>f(5﹣4a);
又f(x)在[﹣1,1]上为增函数;
∴;
解得;
∴实数a的取值范围是.
【点评】考查奇函数的定义,增函数的定义,以及根据增函数的定义解不等式,注意要使a﹣1,5﹣4a在定义域[﹣1,1]内.
91.
解:(1)函数的定义域为(﹣∞,+∞),
则f(﹣x)===﹣=﹣f(x),
则f(x)为奇函数.
(2)f(x)===1﹣,
则f(x)在R上的单调性递增,
证明:设x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)=1﹣﹣(1﹣)=(﹣)=,
∵x1<x2,
∴<,
∴﹣<0,
即f(x1)﹣f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),即函数为增函数.
(3)若存在实数t,使不等式f(x﹣t)+f(x2﹣t2)≥0对一切x∈[1,2]恒成立,
则f(x2﹣t2)≥﹣f(x﹣t)=f(t﹣x).
即x2﹣t2≥t﹣x.
即x2+x≥t2+t恒成立,
设y=x2+x=(x+)2﹣,
∵x∈[1,2],
∴y∈[2,6],
即t2+t≤2,
即t2+t﹣2≤0.
解得﹣2≤t≤1,
即存在实数t,当﹣2≤t≤1时使不等式f(x﹣t)+f(x2﹣t2)≥0对一切x∈[1,2]恒成立.
考点:函数恒成立问题.
专题:函数的性质及应用.
分析:(1)根据函数奇偶性的定义即可判断f(x)的奇偶性;
(2)根据函数单调性的定义即可判断f(x)在R上的单调性,并用定义证明;
(3)结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化,利用参数分离法进行求解即可.
解答:解:(1)函数的定义域为(﹣∞,+∞),
则f(﹣x)===﹣=﹣f(x),
则f(x)为奇函数.
(2)f(x)===1﹣,
则f(x)在R上的单调性递增,
证明:设x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)=1﹣﹣(1﹣)=(﹣)=,
∵x1<x2,
∴<,
∴﹣<0,
即f(x1)﹣f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),即函数为增函数.
(3)若存在实数t,使不等式f(x﹣t)+f(x2﹣t2)≥0对一切x∈[1,2]恒成立,
则f(x2﹣t2)≥﹣f(x﹣t)=f(t﹣x).
即x2﹣t2≥t﹣x.
即x2+x≥t2+t恒成立,
设y=x2+x=(x+)2﹣,
∵x∈[1,2],
∴y∈[2,6],
即t2+t≤2,
即t2+t﹣2≤0.
解得﹣2≤t≤1,
即存在实数t,当﹣2≤t≤1时使不等式f(x﹣t)+f(x2﹣t2)≥0对一切x∈[1,2]恒成立.
点评:本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,以及不等式恒成立问题,利用参数分离法以及定义法是解决本题的关键
92.
解:( 1)当x<0时,﹣x>0,
∵函数f(x)是偶函数,故f(﹣x)=f(x),且当x≥0时,f(x)=x2+2x…
所以f(x)=f(﹣x)=(﹣x)2+2(﹣x)=x2﹣2x,…
所以f(x)=,
(2)∵g(x)=f(x)﹣2ax+2=x2+2(1﹣a)x+2的图象开口朝上且以直线x=a﹣1为对称,
又∵x∈[1,2],
当a﹣1≤1时,g(x)在[1,2]上为增函数,故当x=1时,g(x)取最小值5﹣2a,
当1<a﹣1≤2时,g(x)在[1,a﹣1]上为减函数,在[a﹣1,2]上为增函数,故当x=a﹣1时,g(x)取最小值﹣a2+2a+1,
当a﹣1>2时,g(x)在[1,2]上为减函数,故当x=2时,g(x)取最小值10﹣4a,
综上:函数g(x)的最小值为
考点:函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法.
专题:函数的性质及应用.
分析:(1)根据函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(﹣x)=f(x),且当x≥0时f(x)=x2+2x.可求出x<0时函数f(x)的解析式,综合可得函数f(x)的解析式
(2)根据(1)可得函数g(x)的解析式,结合二次函数的图象和性质,对a进行分类讨论,进而可得函数g(x)的最小值的表达式.
解答:解:( 1)当x<0时,﹣x>0,
∵函数f(x)是偶函数,故f(﹣x)=f(x),且当x≥0时,f(x)=x2+2x…
所以f(x)=f(﹣x)=(﹣x)2+2(﹣x)=x2﹣2x,…
所以f(x)=,
(2)∵g(x)=f(x)﹣2ax+2=x2+2(1﹣a)x+2的图象开口朝上且以直线x=a﹣1为对称,
又∵x∈[1,2],
当a﹣1≤1时,g(x)在[1,2]上为增函数,故当x=1时,g(x)取最小值5﹣2a,
当1<a﹣1≤2时,g(x)在[1,a﹣1]上为减函数,在[a﹣1,2]上为增函数,故当x=a﹣1时,g(x)取最小值﹣a2+2a+1,
当a﹣1>2时,g(x)在[1,2]上为减函数,故当x=2时,g(x)取最小值10﹣4a,
综上:函数g(x)的最小值为
点评:本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,函数解析式的求法,二次函数在定区间上的最值问题,是二次函数图象与性质与奇偶性的综合考查,难度不大,属于基础题
93.
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】综合题;函数的性质及应用.
【分析】(1)设x1=m,x2=﹣n,由已知可得,分x1>x2,及x1<x2两种情况可知f(x1)与f(x2)的大小,借助单调性的定义可得结论;
(2)利用函数单调性可得去掉不等式中的符号“f”,转化为具体不等式,再考虑到函数定义域可得不等式组,解出即可;
(3)要使得对于任意的x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]都有f(x)≤﹣2at+2恒成立,只需对任意的a∈[﹣1,1]时﹣2at+2≥f(x)max,整理后化为关于a的一次函数可得不等式组;
【解答】(1)函数f(x)在区间[﹣1,1]上是增函数:
证明:由题意可知,对于任意的m、n∈[﹣1,1]有,
可设x1=m,x2=﹣n,则,即,
当x1>x2时,f(x1)>f(x2),
∴函数f(x)在区间[﹣1,1]上是增函数;
当x1<x2时,f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)在区间[﹣1,1]上是增函数;
综上:函数f(x)在区间[﹣1,1]上是增函数.
(2)由(1)知函数f(x)在区间[﹣1,1]上是增函数,
又由,
得,解得,
∴不等式的解集为;
(3)∵函数f(x)在区间[﹣1,1]上是增函数,且f(1)=1,
要使得对于任意的x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]都有f(x)≤﹣2at+2恒成立,
只需对任意的a∈[﹣1,1]时﹣2at+2≥1,即﹣2at+1≥0恒成立,
令y=﹣2at+1,此时y可以看做a的一次函数,且在a∈[﹣1,1]时y≥0恒成立,
因此只需要,解得,
∴实数t的取值范围为:.
【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性及其综合应用,考查抽象不等式的求解及恒成立问题,考查转化思想,考查学生解决问题的能力,利用函数性质去掉符号“f”是解决抽象不等式的关键.
94.
【考点】对数函数图象与性质的综合应用.
【专题】综合题;函数的性质及应用.
【分析】转化(1)求解>0即可.
(2)运用单调性证明则=判断符号即可.
(3)根据单调性转化求解.
【解答】解:(1)∴定义域为(﹣1,1),关于原点对称
∴f(x)为(﹣1,1)上的奇函数
设﹣1<x1<x2<1
则=
又﹣1<x1<x2<1
∴(1+x1)(1﹣x2)﹣(1﹣x1)(1+x2)=2(x1﹣x2)<0
即0<(1+x1)(1﹣x2)<(1﹣x1)(1+x2)
∴
∴
∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)在(﹣1,1)上单调递增,
(3)∵f(x)为(﹣1,1)上的奇函数
∴
又f(x)在(﹣1,1)上单调递增
∴∴x<2或x>6,
【点评】本题综合考查了函数的性质,运用求解单调性,奇偶性,解不等式等问题.
95.
【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明;函数恒成立问题.
【专题】证明题;综合题;函数思想;函数的性质及应用.
【分析】(1)解f(0)=0可得a值;
(2)由单调性的定义可得;
(3)由(1)(2)可得函数f(x)为增函数,当x趋向于正无穷大时,f(x)趋向于1,可得m≥1.
【解答】解:(1)由函数为奇函数可得f(0)==0,解得a=﹣1;
(2)由(1)可得f(x)===1﹣,
可得函数在R上单调递增,下面证明:
任取实数x1<x2,则f(x1)﹣f(x2)
=﹣=<0,
∴函数f(x)=R上的增函数;
(3)∵函数f(x)为增函数,当x趋向于正无穷大时,f(x)趋向于1,
要使不等式f(x)<m恒成立,则需m≥1
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性以及恒成立问题,属中档题.
96.
【考点】函数恒成立问题;函数奇偶性的判断.
【专题】计算题;转化思想;分析法;函数的性质及应用.
【分析】(1)要使函数有意义,只需ax﹣1≠0;
(2)利用函数奇偶性的定义即可判断;
(3)问题等价于f(x)>0在(0,+∞)上恒成立,对不等式化简可求;
【解答】解:(1)由ax﹣1≠0,解得x≠0,
∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0},
(2)f(﹣x)=+=+=+=﹣﹣=﹣(+)=﹣f(x),
∴函数f(x)为奇函数,
(3)∵f(x)为奇函数,
∴xf(x)为偶函数,
∴xf(x)>0在定义域上恒成立问题等价于f(x)>0在(0,+∞)上恒成立,即>0恒成立,
亦即>0,所以ax﹣1>0即ax>1在(0,+∞)上恒成立,
所以a>1,故实数a的取值范围是(1,+∞).
【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判断及其应用,考查恒成立问题,考查转化思想,属中档题.
97.
【考点】函数单调性的性质;函数解析式的求解及常用方法.
【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】(1)设x>0,则﹣x<0,代入已知解析式得f(﹣x)的解析式,再利用奇函数的定义,求得函数f(x)(x<0)的解析式,
(2)原不等式化为,或,根据对数的性质,解得即可.
【解答】解:(1)设x>0,则﹣x<0,
∴f(﹣x)=lg,
∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,
∴f(﹣x)=﹣f(x),
∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣lg,
∴f(x)=;
(2)f(x)>0,
∴,或,
即或
解得0<x<1,或x<﹣2,
故不等式的解集为(﹣∞,﹣2)∪(0,1).
【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性和对称性求函数解析式的方法,以及不等式组的解法和对数的性质,体现了转化化归的思想方法,属于中档题.
98.
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)先由函数是奇函数,利用待定系数法求解.
(2)由(1)求得函数,再用单调性定义来判断其单调性,先任取两个变量,且界定大小,再作差变形看符号.
【解答】解:(1)∵f(x)是R上的奇函数.
∴f(﹣x)=﹣f(x)
∴1﹣a•2=a﹣2x
∴a=1
(2)设x1<x2,则2x1<2x2
f(x1)﹣f(x2)=
所以f(x)在R上是增函数.
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用,这类问题往往用到待定系数法求参数的值.还考查了函数单调性的判断与证明,一般用定义法或导数.
99.
【考点】函数零点的判定定理;函数奇偶性的判断.
【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】(1)令f(x)=0,可得函数f(x)的零点.
(2)当m=﹣1时,g(x)==﹣,利用奇函数的定义证明即可.
【解答】解:(1)当m=8时,2x﹣8=0,∴x=3,
∴函数f(x)的零点是x=3.
(2)当m=﹣1时,g(x)==﹣为奇函数,
证明如下:函数的定义域为R,
g(﹣x)=﹣=﹣(﹣)=﹣g(x),
∴函数g(x)是奇函数.
【点评】本题考查函数的零点、奇偶性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
100.
【考点】函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法;函数奇偶性的判断.
【专题】综合题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】(Ⅰ)函数g(x)=f(x)+3x(x∈R)为奇函数,g(﹣x)=f(﹣x)﹣3x=﹣g(x)=﹣f(x)﹣3x,可得f(﹣x)=﹣f(x),即可判断函数f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)若x>0时,f(x)=log3x,求出x<0,x=0时的解析式,即可求函数g(x)的解析式.
【解答】解:(Ⅰ)∵函数g(x)=f(x)+3x(x∈R)为奇函数,
∴g(﹣x)=f(﹣x)﹣3x=﹣g(x)=﹣f(x)﹣3x,
∴f(﹣x)=﹣f(x)
∴函数f(x)是奇函数;
(Ⅱ)设x<0,则﹣x>0,
∵x>0时,f(x)=log3x,
∴f(﹣x)=log3(﹣x),
∵函数f(x)是奇函数,
∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣log3(﹣x),
∵g(0)=0,
∴函数g(x)=.
【点评】本题考查函数的奇偶性,函数解析式的确定,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.