《椭圆及其标准方程》课堂实录
授课人:崔玉宝
教学目标:
(一)知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,能正确推导椭圆的标准方程.
(二)能力目标:培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力.
(三)情感目标:通过让学生探究定义的形成,鼓励学生积极、主动的参与教学,激发其求知的欲望,同时在教学的过程中带领学生体会数学的对称美和简洁美,培养学生勇于探索,敢于创新的精神.
教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.
教学难点:椭圆标准方程的推导.
教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力.
教具准备:多媒体课件和自制教具:14套(绘图板、图钉、细绳).
教学过程
(一)设置情景,引出课题:
师:回顾一下圆是什么图形?
生齐答:平面图形、封闭图形、对称图形(中心对称、轴对称)
师:今天我们继续学习另一种美丽的几何图形:椭圆。生活中你都有哪些是椭圆呢?
生甲:鸡蛋的截面、斜切火腿肠。
师:这位学生非常厉害,善于观察,懂生活。
生乙:将有半杯茶的茶杯倾斜,其截面就是椭圆形。
师:那么同学们不妨一起欣赏一下生活中的一些美丽的椭圆形。
师:同学们想不想知道如何可以画出美丽的椭圆图形呢?
生齐答:想。(声音很响亮)
师:好,满足同学们的愿望。但要同学们动手、合作才可以。请每4位同学一组,分工合作,按以下规则画出图形。
数学实验
[1]取一条细绳,
[2]把它的两端固定在绘图板板上的两点 F1、F2
[3]用铅笔尖(M)把细绳拉紧,在板上慢慢移动看看画出的图形。
师:哪一组同学画的最漂亮呢,请展示一下。画图的过程中,有哪些是变化的?那些不变?
生丙:F1、F2两点的位置不变。绳长不变。M点在变。
师:M点在变,那么M点具有什么特性?
生丁:M点到F1、F2距离之和等于绳长。
师:同学们再看绘图板,若把绳拉直,固定F1、F2,再用铅笔尖(M)把细绳拉紧,在板上慢慢移动看看画出的图形。当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗?
师:由实验同学们对椭圆有何认识?是不是任何一个椭圆形的图形就一定是椭圆呢?如何给椭圆下一个严格的定义。
生戊:到两定点距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆。
师:有没有不同想法?
生:椭圆是平面图形,所以要添:在平面内
师:还有吗?
生:因为绳长大于F1、F2两点间的距离。
师:很好。所以定义为:
[一]椭圆的定义
椭圆定义的文字表述:平面内到两个定点的距离的和等于常数(2a大于| |)的点的轨迹叫椭圆。
• 两个定点叫做椭圆的焦点。
• 两焦点之间的距离叫做焦距(2c)。
椭圆定义的符号表述: (2a〉2c)。
师:同学们得到了椭圆的定义,那么如何去研究椭圆的性质呢?通过什么?
生:方程?如何求椭圆的方程?
(二)研讨探究,推导方程
师:根据求曲线方程的一般步骤?
生:(1)建系设点;(2)点的集合;(3)代数方程;(4)化简方程等步骤.
师:如何建系呢?建系坚持的原则是什么?
生:简洁、对称。
师:如何建才简洁对称呢?同学们可以在你们画好的椭圆图形中做出平面坐标系。每一组建好系之后将图版展时一下。好,将各组学生的讨论方案归纳起来评议,选定以下两种方案。
方案一
案二
找一组学生到黑板就方案一建系方法求出椭圆的方程(板书)
其余小组在下面也通过合作求椭圆方程。浩大的工程开始了,看哪个小组求的又对又快。最先求出来的小组每位同学要拥有一块大白兔。
(1)建系设点
建立坐标系应遵循简单和优化的原则,如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化,注意充分利用图形的对称性,使学生认识到下列选取方法是恰当的.
以两定点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系(如图一).设|F1F2|=2c(c>0),M(x,y)为椭圆上任意一点,则有F1(-1,0),F2(c,0).
(2)点的集合
由定义不难得出椭圆集合为:
P={M||MF1|+|MF2|=2a}.
(3)代数方程
化简:(这里,教师为突破难点,进行设问:我们怎么化简带根式的式子?对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢?)
两边平方,得:
即
两边平方,得:
整理,得:
师:为使方程对称和谐简洁而引入b,同时b还有几何意义,下节课还要
(a>b>0).
令,则方程可简化为:
整理成:
指出:方程叫做椭圆的标准方程,焦点在轴上,焦点是
讨论:如果以所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立直角坐标系,焦点是,椭圆的方程又如何呢?
让按照另外方案推导椭圆标准方程的同学发言并演示动画进行讨论得出: 为椭圆的另一标准方程,而其他建系方案得出的椭圆方程没有标准方程形式简单.
引导学生思考:已知椭圆标准方程,如何判断焦点位置?
讨论得出:看,的分母大小,哪个分母大就在哪一条轴上.
选定方案二建立坐标系,由学生完成方程化简过程,可得出,同样也有a2-c2 = b2 ( b > 0 )。
教师指出:我们所得的两个方程和都是椭圆的标准方程。
(三)归纳概括,方程特征
1、观察椭圆图形及其标准方程,师生共同总结归纳
(1)椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点,以焦点所在轴为坐标轴;
(2)椭圆标准方程形式:左边是两个分式的平方和,右边是1;
(3)椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系:;
(4)椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定;
(5)求椭圆标准方程时,可运用待定系数法求出a,b的值。
2、在归纳总结的基础上,填下表
不
同
点
|
标准方程
|
|
|
图形
|
|
|
焦点坐标
|
F1(-c,0) , F2(c,0)
|
F1(-c,0) , F2(c,0)
|
共
同
点
|
定义
|
|
a、b、c的关系
|
a>b>0,b,c大小不确定。
|
焦点的位置的判定
|
x²,y²项中哪个分母大,焦点就在那一条轴上。
|
(四)例题研讨,变式精析
例1、求满足下列条件的椭圆标准方程
(1)两个焦点的坐标分别是,椭圆上一点P到两焦点距离和等于10。
(2)两焦点坐标分别是,并且椭圆经过点。
(3)
找学生到黑板板书(1)因为椭圆的焦点在轴上,所以设它的标准方程为
所以所求椭圆标准方程为
⑵ 因为椭圆的焦点在轴上,所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知,
+
又
所以所求标准方程为
点评:题(1)根据定义求若将焦点改为(0,-4)、(0,4)其结果如何;
题(2)由学生的思考与练习,总结有两种求法:其一由定义求出长轴与短轴长,根据条件写出方程;其二是由已知焦距,求出长轴与短轴的关系,设出椭圆方程,由点在椭圆上的条件,用待定系数的办法得出方程 那么(3)如何解决?
生:先求a,b,然后分类 ,分焦点在x轴和焦点在y轴
师:先定量,再定位。很好这里要有分类讨论的思想。
练习:
1椭圆上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为( )
A.5 B.6 C.4 D.10
2.椭圆的焦点坐标是( )
A.(±5,0) B.(0,±5) C.(0,±12) D.(±12,0)
3.已知椭圆的方程为,焦点在轴上,则其焦距为( )
A.2 B.2
C.2 D.
4.,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是
(五)课堂小结(本节课你的收获)
一个概念:椭圆的定义
两个方程:
两种方法:去根号的方法,求标准方程的方法。
两种思想:数形结合思想,分类讨论思想。
(六)作业布置:P28 习题 2.2.(1) 2
课后反思:
(1)在数学课上,实验法的引入对学生而言既新鲜又兴奋,学生参与的积极性很高。
(2)力争让学生成为课堂的真正主人,教师不过贡献了恰当过渡句和问题包,搭建了宽松的平台,使学生多动手、多试验、多联想、多类比、多总结。
(3)力争让学生从整体上掌握教材的内容、思想、方法,将新获得的知识,自觉纳入自己的知识网络中,与圆知识的类比成为本节课的一个特色。