数形结合,就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关系与空间形式和谐地结合起来。
我国著名数学家华罗庚曾写过关于数形结合的一首词:
数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。
数缺形时少知觉,形少数时难入微。
数形结合百般好,隔裂分家万事非。
切莫忘,几何代数统一体,
永远联系,切莫分离。
数形结合,主要指的是数与形之间的对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”、“以数解形”、“数形转换”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的。
作为一种数学思想方法,数形结合的应用大致又可分为三种情形:一是借助于数的精确性来阐明形的某些属性,即“以数解形”,二是借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系,即“以形助数”三是充分的分析问题图形与数量关系使它们互为补充,化抽象为直观,化难为易,即“数形转换”。
现在我就这三个问题来谈谈数形结合在解题中的应用。
一、借助于数精确性来阐明形的某些属性
一些几何问题,如果运用数与形结合的观点去考虑形向数转化。即用代数、三角、解析几何的方法去解决,解题方法变得容易寻找。这是因为某些几何问题,虽然图形较直观,但其已知条件和结论之间相距甚远,解题途径不易找到。特别是需要添加辅助线才能解决的那些问题。
二、借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系
根据题意正确绘制相应图形,使图形能充分反映出它们相应的数量关系,通过图形中某些元素的具体意义来求得数量关系。
三、充分的分析问题图形与数量关系使其互为补充,化抽象为直观,化难为易“形助数”与“数助形”它们在解题时不是单独出现与使用,把它们有机的结合会使你做题变得直观而容易。
数形结合有利于提高思维的深刻性,因此,数形结合不应仅仅作为一种解题方法,而应作为一种基本的、重要的数学思想,作为数学知识的精髓,作为将知识转化为能力的“桥”来学习研究和掌握应用。要将数形结合法运用于解题教学和解题实践作为解题方法的数形结合,数形结合法要求教师在长期的教学过程中潜移默化的让学生掌握,仅仅靠几节课专门讲数形结合法解题的例子,是不能使学生真正理解和掌握数形结合方法的。