最不利原则与鸽巢原理
——鸽巢原理教学反思
姓名:叶利辉 性别:男 职称:小学一级 学历:大学本科
单位:歙县城关小学 通讯地址:安徽省黄山市歙县城关小学
电话:13339096320 电邮:785704015@ 邮编:245200
鸽巢原理(即抽屉原理)是小学阶段最后一个数学广角的教学内容,这一原理在生活中有着广泛应用,趣味性较强,要想解决这一内问题,难点在于明确谁是“鸽巢(抽屉)”,谁是“鸽子(苹果)”。
在上公开课前,我研读了教材、教参,查看了一些资料,逐渐明确了教学突破口,即从结论的表述入手,先搞清“总有”和“至少”的内涵,“总有一个”是“最起码有(一定有)一个”,但不是所有的都有,而是一定有一个有。“至少有几个”是“不少于(大于或等于)几个”。确立鸽巢问题结论验证的方法在于——借助最不利原则,探究最不利情况下分物(平均分)的结果。
游戏热身,是为了激发学生的学习兴趣和探究欲望,同时利用为鸽巢原理解决问题奠定基础。新课教学中,教师由扑克牌问题过渡到“铅笔与笔筒”的问题,提出:“如果把100只铅笔放入99只笔筒,老师可以肯定,总有一个笔筒至少有2只铅笔,你们同意吗?”(学生几乎异口同声地回答——同意。)我质疑:你们肯定吗? 那怎么验证呢?教师引导学生思考:100只铅笔放入99只笔筒,有多少种放法?(肯定不只一种,即学生想到的平均分的一种),你能保证确定没有一种与你们的结论相悖吗?在这种情况下,学生想到了验证,只是数量大,无法一一验证,因此老师顺势引导:把复杂的问题简单化,从简单数字入手,寻找共同规律,因此抛出新问题:4只铅笔放入3只笔筒,总有一个笔筒至少有几只?学生通过实验操作,得出4种不同分法,并观察归纳,最后得出结论,4种分法虽然不同,但有共性特征:每种分法里总有一个(最起码有一个)笔筒里至少(不少于)2只铅笔。
为了让学生弄清为什么?我在教学中重点引导观察两种分法:(4,0,0)和(1,1,2),观察两种分法的区别,从结论(总有一个笔筒里至少2只铅笔来说)来说,(4,0,0)是符合条件的最理想分法,(1,1,2)是最不利的情况,为什么这么说呢,因为这种情况下每个笔筒的铅笔数非常接近(拉不开差距),差点就不能满足结论。此时,引导学生思考:随着物品越来越多,分法越来越复杂,不大可能对每种分法一一验证,那就从最不利原则出发,以找出最不利情况下的分法,最不利分法所能满足的结论其它分法中一定能实现。而最不利分法的原则就是让每个笔筒中的铅笔尽可能接近(将差距缩小),不能集中(一家独大)。通过演示操作,一方面验证设想,另一方面方便引导将过程用算式归纳:待分铅笔数/铅笔数,即将平均分的过程用除法算式呈现出来。接着通过一系列练习:5只铅笔放入4只笔筒,6只铅笔放入5只笔筒,7只铅笔放入6只笔筒……让学生对从最不利原则出发解决鸽巢原理的这一方法。
第二阶段的学习,将问题情境更新,通过鸽巢问题,发现在利用最不利原则分物过程中,依然可以平均分,不过一个鸽巢不只分1个,还可以分多个,最后一轮不够分时,还是要1个鸽巢分1 个,继续让物体不集中。
最后,引导学生从结论出发,归纳鸽巢问题中,利用最不利原则分物后表示结果的数字怎么得出?发现在有余数的除法中,总有1个鸽巢中至少有“商+1”个物体。
教学中,我还渗透了数学史的介绍及中国古代鸽巢原理应用的经典案例——“二桃杀三士”的故事。
课后想来,教学中,我以最不利原则下物体分法为探究突破口,强调平均分的方法归纳鸽巢问题结论,整个思路是清晰的,学生思维的调动和参与比较理想,也较好地达成了预期效果。但也存在一些不足:比如教学语言还要打磨,特别是一些问题提出明确性和指向性不到位,有效性不理想。另外在归纳分物后,观察算式归纳时,发现总有1个鸽巢中至少有“商+1”个物体,这个过程不到位,教师没引导好,结论得出是老师自己说的,另外,当时未能强调一个大前提,即是在有余数的除法中。