为什么已有角度制度量角的大小，还要学习弧度制？

灵璧中学  马兆军 2015-06-01

对于弧度制的教学，有人建议使用圆周率来说明扇形弧长与半径之比（实数）表示角的大小来引入弧度概念；也有人提出，根据圆心角的度数n与l/r之间的对应关系，l/r度量角的大小是完全合理的；也有人利用演示教学法,通过把角度制中的角度与弧度制中的弧度数之间建立一一对应关系来学习弧度制。

但是这些方法都没有能使学生很好的产生为什么要学习弧度制和1弧度角。而且往往使学生产生了弧度制的引入是为了使三角函数的自变量和实数建立一一对应关系，这一误区。

其实有了弧度制,角的表示可以和数轴上的实数建立一一对应的关系,但并不是只有引入了弧度制才能把角度制的自变量解释成为实数。

由角度制度来度量角的大小，适应旋转的观点，然而人们对大小的认识基于长度的初识，那么，长度可否度量旋转的角呢？人们不断探索。根据数学史中弧度制的发展过程。巴比伦人发明了60进制，60进制以度为单位，他们将圆周分成360等份，每一份所对的圆心角叫做1度。希腊的天文学家托勒密却接受了这种方法。他考虑到量弧长与量弦长应采取相同的长度单位，弧长的单位是圆周，直径长就是，但这并不是整数，不便于计算，若取近视值，那么直径=120个单位。印度数学家阿耶波多制作正弦表时，也用类似的思想，就孕育着弧度制的思想。

从角度制下的公式所想到的----来看我们的弧长和扇形面积公式：   ， 弧长与半径和圆心角都成正比，但是这个比例系数太烦了，为了简化公式，我们完全可以重新定义角度的度量制度，使得比例系数为1，而半径r的度量已经确立起来，那么能改变的就只有角度，于是就有了我们的弧度制：　　　　这样定义下的角度能够让弧长和扇形面积公式都变得非常简单，定义本身便给出了角度与弧度之间的互化。所以弧长与半径、角度之间的简单正比关系，成为弧度制定义的来源之一。

这种观点在物理学中也有所体现，为了简化公式而定义一个量的度量制度，如对“力”的度量，牛顿通过实验得到这样一个结论：物体的加速度跟物体所受的合外力F成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。即a=kF/m，而在当时并没有关于单位力的度量（或者是另一种度量制度？），于是为了方便，就取k=1，这样一来公式F=ma实际上便成为了力的度量制度来源。这种通过简单的比值来定义一个新量的方法，在物理学当中得到广泛采用，再比如压强，密度等这些概念都是按如此方法定义。

在经历千年之久后，1748年欧拉主张用半径单位来量弧长。设半径等于1，那么整个圆周的弧长就是2π个半径，半圆周的弧长就是π个半径；因此弧长为1个半径所对的圆心角的大小就等于1，该圆心角的度量可记作1弧度，这就是现代的弧度制。

通过弧度制的发展过程说明弧度制是数学家在研究三角函数的过程不断总结提炼出来的，弧度制能更好的帮助我们研究三角函数。同时也提出弧度制其实就是用半径单位来量弧长得到的，为学习“1弧度”的概念做出了铺垫。

弧度的概念，数学家定义了正弦（余弦、正切）函数之后很多年才提出的。由于像 这样的表达式中，左边六十进制的角度与右边十进制的实数，进制不统一。

也许有人会说，既然角度制大小度量与实数也是一一对应关系，若做其正弦函数图像，那是怎样的呢？依然是波形线！只是1与360在纵横数轴上相差过大，不宜观察罢了，由此也说明学习弧度制的必要。

利用半径为单位来度量弧长，进而度量弧长所对应的圆心角是经过了许多数学家的摸索和尝试才最终达成的共识。