在《数学课程标准》的修订过程中, 东北师范大学史宁中校长提出, 在注重“基本知识”和“基本技能”的同时,要积累“基本数学经验”和发展“基本数学思想方法”. 这是数学教育研究上的一个重要进展. 应该说, 基本数学思想方法, 已经研究多年, 提法不算太新. 但是, 数学基本经验的提出, 则在理论和实践上, 都具有很大的学术价值和创新意义. 本文拟对“基本数学活动经验”做出界定,探讨其内涵,给出一些具体的教学建议.

一、什么是基本数学活动经验

数学教学要创设源于学生生活的情境,尽量贴近学生的日常生活经验. 这已经成为大家的共识. 但是,数学其实不完全是从现实生活情景中直接产生的. 人们基于日常生活经验,还必须通过一些感性或理性的特有数学活动,才能把握数学的本质,理解数学的意义. 所谓基本数学经验,当是指在数学目标的指引下, 通过对具体事物进行实际操作、考察和思考,从感性向理性飞跃时所形成的认识. 数学活动经验的积累过程是学生主动探索的过程.

数学活动经验有以下的特征.

1．数学活动经验,是具有数学目标的主动学习的结果. 数学经验来源于日常生活经验,却高于日常经验. 比如,同样是折纸,可以是美学欣赏,可以是技能训练, 但也可以是数学操作. 作为数学活动的折纸,其目的是学习数学,包括学习轴对称概念, 图形的运动, 图形的不变特征等等. 没有数学目标的活动, 不是数学活动.

2．数学经验,专指对具体、形象的事物进行具体操作和探究所获得的经验,以区别于广义的抽象数学思维所获得的经验. 如果把抽象思维、数学证明、探究解题都算作“数学活动”, 那就过于泛化. 整个数学教学都是“数学活动”, 没有特定价值了.

3．数学经验,是人们的“数学现实”最贴近现实的部分. 人们学习数学, 逐步形成了个人的数学现实. 数学现实象一座金字塔, 从与生活现实密切相关的底层开始,一步步抽象, 直到上层的数学现实. 高度抽象的数学概念, 无法在具体的生活现实中找到原型, 从质数、合数直到哥德巴赫猜想, 已经没有直接的生活原型了. 学生学习数学, 要把握一大批从生活现实上升为数学现实的完整认识过程, 成为学生整个数学现实的基础.

4．学生积累的丰富的数学活动经验, 需要和探究性学习联系在一起,使其善于发现日常生活中的数学问题,提出问题,解决问题. 学生在发现问题、提出问题和解决问题的过程中,又获得一定的数学活动经验.

二、基本数学活动经验的类型

数学经验, 依赖所从事的数学活动具有不同的形式. 大体上可以有以下不同的类型.

1．直接数学活动经验:直接联系日常生活经验的数学活动所获得的经验这种经验是日常生活经验的扩充,但是具有一定的数学目标. 小学生往往不能回答什么是“ 011”, 却能够说出:“011 就是1 角”. 可见, 学生掌握的数学知识中有相当一部分, 直接来源于日常生活现实. 我们应该主动地设计源于实际生活的数学活动, 体察其中的数学底蕴, 获得相应的数学经验. 例如,

三角形分类和日常生活中具体对象的分类.

从平面上位置的确定发展为平面坐标系

根据银行信息计算各种利息

组织旅游活动时制定预算

摸球活动体会随机事件的概率

收集本班同学身高的信息,进行初步数据处理

梯子的数学. 考察梯子斜靠在墙上形成的直角三角形, 从中可以研究投影、斜率、三角比等一系列的数学问题.

这些活动, 已经出现在《数学课程标准》以及大量的课案当中, 渐渐地成为大家的共识. 需要注意的是, 这类直接源于生活经验的数学活动,必须有明确的数学目标, 体现数学本质, 不能停留在原来的生活经验上, 下面还会论及.

2.间接数学活动经验:创设实际情景构建数学。模型所获得的数学经验这些情景,依时间地点的不同,教师的关注程度,组织起适当的数学活动,最后以数学建模的方式,获得应用数学解决问题的实际经验. 由于实际情景非常复杂, 课堂上使用的情景,经过提炼、简化、筛选,离开实际状况有一定的距离,但是仍然是密切结合实际的数学体验.

·鸡兔同笼的模型, 学习算术解法或者方程解法.

·在矩形场地上, 以一半面积设计花坛,要求美观.

·结合嫦娥登月工程,学习椭圆知识.

·结合海军访问美国, 学习球面上的最短线———大圆.

·用多媒体手段, 观察掷硬币时国徽向上的统计规律, 体验大数定律的意义.

·三角函数周期性图象的获得.

这类活动的特征是模拟. 我们不会面对一个真实的“鸡兔同笼”, 只知其总头数和总脚数而不知道各自的头数. 这是一个想象的模型. 嫦娥登月工程不是我们设计、操作的, 是在假想的模型中进行观察和探索.

3.专门设计的数学活动经验:由纯粹的数学活动所获得的经验这类活动,是具体的数学操作,专门为数学学习而设计、服务的. 它们是具体的、形象的、肢体的活动, 却充满着数学意味. 例如

·扳手指头数数.

·用算盘学习位置制.

·测量三角形内角和.

·研究任意三根棒能否构成三角形.

·尺规作图.

·通过测量给出圆周率的近似值.

·制作立体几何模型.

·用计算器作数学运算.

这些活动,在生活现实中是没有的, 只有学习数学和运用数学时才遇到. 我们把它看作日常生活现实在数学上的扩充. 例如尺规作图, 是纯粹的数学操作, 但是有肢体活动, 有形象显示,能够促进数学思考. 这些活动, 在历来的教学大纲中多有提及,只是缺乏明确的规定和实施的指导. 我们应当有意识地加以积累,成为数学学习的有机组成部分.

4.意境联结性数学活动经验:通过实际情景意境的沟通, 借助想象体验数学概念和数学思想的本质这类数学活动经验, 不是直接产生于某种实际活动, 而是将抽象的数学概念和法则, 借助举例、比喻、联想等方法, 寻求某种具体的形象化的支撑, 获得具体的意象固着点, 获得某种相对现实的数学经验.

例如,分数通过扩分于约分可以有许多的表示, 这些表示构成一个等价类. 于是我们不妨把分数比喻为一个大家庭,每个成员都能代表家庭去做事. 也可以把分数的多种表示, 比喻为一个人可以穿许多不同的衣服,在不同的场合穿不同的衣服(两个分数加减需要通分, 好象不同场合需要穿不同衣服) . 这样的比喻, 并非直接从事具体形象的数学活动,而是将以前具有的生活现实,

通过比喻、联想、借鉴等方法, 使得抽象的数学内容, 和生动的具体意境建立起一种联结, 找到一个可以具体把握理解的、基于现实的立脚点. 也就是说, 把抽象的数学概念, 通过具象的、经验的、生动的已经联结, 把数学学术形态转化为教育形态. 这样的例子很多.

·正负数的加减运算, 规则很多, 实际上的生活原型是“抵消”. 3 - 4 正负抵消之后, 剩下的是- 1.

·向量的内积:购货时的付款金额就是“数量向量”和“价格向量”的内积.

·2是实际存在的量:边长为1 的正方形的对角线长度.

·多米诺骨牌与数学归纳法.

·轴对称运动与诗词上下联的对仗,都是在变化中保持某种不变性.

·极限的文学意境:“一尺之棰, 日取其半,万世不竭”, 以及“孤帆远影碧空尽“的动态过程.

·方程函数与“关系”(下文作进一步解释) .

尽管以上的分类不是完全的, 但是已经可以看到基本数学活动多种多样、内容十分丰富. 我们的任务, 是在适当的数学课堂教学中设计和运用这些基本活动经验, 使得学生能够为抽象的数学找到具体形象的原型, 增进数学理解.

三、积累数学经验的教学案例分析

如何积累基本的数学经验,使之成为学生形成数学现实、构建数学认知的现实基础, 是数学教学贯彻素质教育的重要课题. 晚近以来, 经过积极的提倡和实践,努力创设数学情境,初步形成了一批有价值的课案,与此同时, 也有一些不大成功的事例, 值得我们总结. 以下是我们的一些认识：

1．数学活动应该成为数学学习的有机组成部分, 不能可有可无. 尤其是总结精选课题,形成一批具有保留价值的经典课案, 作为大家的共识,成为课堂上经常使用的课例

例一:巨人的手( Freudent hal 经典情景) :

昨晚, 外星人访问我们学校, 在黑板上留下了巨人的手印,今晚他还会来,请你设计为巨人使用的书籍、桌子和椅子的尺寸.

显然,这是一个儿童喜闻乐见的故事. 要求学生从事有关“相似”以及“比和比例”的数学活动. 活动内容包括度量“巨人”和“我”的手(例如中指) , 找出二者的比值, 然后按这个比值, 放大我们的书籍, 以及桌椅的尺寸.

数学教学中,让学生用刻度尺度量是常有的活动. 这个经典活动的特点是: 学生们通过度量活动不仅只得出一些尺寸数据,而是紧紧围绕“比值”不变的思想进行, 将度量和几何上的相似的概念密切结合起来. 这样量,量得有价值, 有意义. 可以相信,这种自己动手、探究体察出来的数学经验,将会长远地保存在记忆里,成为“比例”、“相似”等数学概念的现实基础.

例二:用二次曲线画米老鼠.

华东师范大学二附中郑耀星老师, 曾经在二次曲线学习的单元, 要求学生用二次曲线画“米老鼠”或其他图形, 并写出各段曲线的坐标方程.这是要求艺术和数学相结合的数学活动. 他在立体几何教学中,还要求用球体、锥体、柱体构作班级运动会的奖杯,也是有意义的数学活动.这样的活动,既是具体的形象化的, 又充满着主动探索创新精神,应该成为数学教学的重要组成部分.

2.数学活动要源于日常生活, 但是高于日常生活我们常常看到一些教案,把大量的时间化在重复日常生活经验之上,不能高于生活, 失去了数学活动的意义, 于是也得不到正确有效的数学经验.

例三:坐标系的作用只是确定位置吗?

常常看到一些发表的获奖数学教案,以平面坐标系的引入为主题, 但是使得学生“活跃”起来的部分, 却是“电影院找座位”, 学校在“鼓楼东大街和XX 南大路的交界处”, 猜“我的好朋友在第几排第几座”, 甚至让一个学生蒙着眼睛听指挥找到某朋友等等. 这些活动没有数学价值, 仍然停留在“生活经验”的水平. 数学课需要了解的是,坐标原点如何选取,坐标轴如何架设. 在教室里设置坐标系之后,可以看到两个坐标相同的同学构成一条直线, 而两个坐标都是负数的同学构成第三象限等等. 总之,在初中阶段, 坐标系的价值不再集中于描述“位置”, 而是用来表示数学对象, 这样的数学活动才能获得有价值的数学经验.

例四: 关于必然事件和随机事件的活动.

概率和统计作为学习领域正式进入课程标准, 这是一个十分重大的进步. 于是我们看到小学数学公开课教案里,常常设计了许多学生参加的活动. 有的教案, 让学生在全是红球的袋子里摸红球, 在全是白球的袋子里也摸红球, 前者是必然事件, 后者是不可能事件. 这样的活动, 对学生没有多少帮助. 实际上, 必然事件, 随机事件, 从幼儿时期已经有过许多经验(比如, 猜一块糖在左手或右手? 就是处理随机事件) . 概率统计的数学活动, 应当把数学活动的焦点, 放在可能性的大小. 低年级只要能分辨大小, 学习分数之后, 就要用分数来表示.

总之, 我们设计数学活动, 不能停留在生活经验, 而要有数学味, 提升为数学活动.

3.拓展生活现实领域,扩大数学经验的范围。数学的学科我们应该深入开掘数学活动的现实源泉, 通过联结与想象,使得抽象的数学找到现实的固着点,包括在意境上彼此沟通, 从而获得有益的数学经验. 前已提及, 学生会认为“011是一角”. 这一事例再清楚不过地表明了抽象数学需要一个生活上的固着点. 更进一步, 还可以有以下的例子.

例五:方程与“关系”.

方程的定义往往以其外在的逻辑形式而呈现出来,含有未知数的等式叫方程. 这样的定义冷冰冰地没有生活背景. 我们可以进一步揭示它的内在的数学本质:即方程是为了寻求未知数, 在已知数和未知数之间建立的一种等式关系.

于是,“方程”就和日常生活中的关系连接起来. 比如,我们为了认识“未知数”先生, 必须请“已知数”先生为中介, 找到一种关系, 根据关系就能认识“未知数”先生了.

这样, 我们就为方程找到了一个生活经验上的立足点, 成为一种数学经验.

例六:极限与古诗.

数列趋向于0 的极限, 有其一定的生活背景, 教科书上常常引用“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”加以揭示. 数学名家徐利治先生, 则用“孤帆远影碧空尽, 惟见长江天际流”的诗句表现趋向于0 的极限意境, 似乎更为传神.

最后, 我们要指出的是, 实际情景未见得都和学生的生活经验相吻合.

例如, 我们曾经看到关于“代数式”的一个引例. 内容是说:

一隧道长l 米,一列火车长180 米,如果该列火车穿过隧道所花的时间为t 分, 则列车的速度怎么表示? 导入新课,指出:象“(1 + 180) / t”这类表达式称为代数式.

这样创设的情景看起来联系生活实际, 实际上离开学生的实际很远. 隧道不是学生熟悉的场景, 更没有“火车通过隧道”要加上180 米的实际经验. 由此得出“代数式”的概念, 实在牵强, 得不偿失. 情景创设远离教学主题, 只求包装靓丽,不管学生需要, 是一种时髦的、但不好的倾向.

我们认为,代数式的引例应该十分简单. 例如矩形的长a ,宽为b,求矩形的周长2 ( a + b) 和面积a·b, 就很好. 这些是学生的基本活动经验, 而上述的“火车过隧道”则不是.

总之, 积累“基本数学活动经验”, 形成比较完整的数学认识过程,构建比较全面的数学现实,对于提高我国的数学教学质量, 帮助学生获得良好的数学教育,具有重要的意义,值得我们认真加以研究, 贯彻实施.

我们希望, 未来的数学教学,在积累学生的数学活动经验上有以下的措施:

·《数学课程标准》中列出的最基本的“数学活动”, 作为“规定动作”, 人人都要经历学习.

·出版《数学活动案例集》, 供数学教师选择使用. 这些“自选动作”, 要根据学生和教师的具体情况, 在课堂上使用.

·积累“数学活动教学”的教学经验, 摆脱过度形式化的数学思维模式, 把各种数学活动(大型的或小型的, 甚至是微型的) 组织进课堂教学, 使得学生的“数学现实”中具有深厚的生活经验支撑, 社会人文意识, 从感性到理性的完整认识.