安徽省2013年高考理科数学的第18题是一道解析几何大题，试题如下：设椭圆E： QUOTE 的焦点在x轴上

（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；

（2）设F₁，F₂分别是椭圆E的左右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F₁P交y轴于点Q，并且F₁P⊥F₁Q      证明：当变化时，点P在某定直线上.

   第二问提供的参考答案如下：

设，其中，由题设知，则直线的斜率 

直线的斜率，故直线的方程为

当时，即点的坐标为

因此直线的斜率 

由于F₁P⊥F₁Q，所以

化简得：

   ①

将①式代入椭圆方程由于点P在第一象限解得

故点P在定直线上

此问的第二问本质是求点P的轨迹方程，参考答案提供的其实是消参数法的思想，从试题本身及参考答案提供的方法上看本题可以进行进一步的探究和推广，为此笔者认为可以从以下几个角度来思考.

    思考1：若椭圆E的方程为，其他条件不变，则点P的轨迹方程是什么？随着椭圆方程中参数或的变化，点P能否位于一条定直线上？

类比上面的方法不难得出点P 满足的关系式为，将其代入椭圆E的方程中，由于点P在第一象限，可解得

显然，若椭圆E中为定值，则点P位于定直线上,

若椭圆E中为定值，即椭圆E的离心率固定时，则点P位于定直线上.

由此可得到下列的推广

推广1：设椭圆E： QUOTE 的焦点在x轴上，设F₁，F₂分别是椭圆E的左右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F₁P交y轴于点Q，并且F₁P⊥F₁Q ，当为定值时，则点P位于定直线上；当椭圆E的离心率固定时，则点P位于定直线上.

思考2：若把椭圆E变成双曲线且方程为，其他条件不变，则点P的轨迹方程是什么？随着双曲线方程中参数或的变化，点P能否位于一条定直线上？

同样的，我们也可以类比前面的方法点P 满足的关系式为，将其代入双曲线的方程中，由于点P在第一象限，可解得

显然，若双曲线E中为定值，则点P位于定直线上,

若双曲线E中为定值，即双曲线E的离心率固定时，则点P位于定直线上.

由此可得到如下的推广

推广2：设双曲线E： QUOTE ，设F₁，F₂分别是椭圆E的左右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F₁P交y轴于点Q，并且F₁P⊥F₁Q ，当为定值时，则点P位于定直线上；当双曲线E的离心率固定时，则点P位于定直线上.

思考3：若把椭圆E变成抛物线且方程为，设， P为抛物线E上第一象限内的点，直线F₁P交y轴于点Q，并且F₁P⊥F₁Q，点则点P的轨迹方程是什么？当变化时，点P能否位于一条定直线上？

类似的由于根据可得到

将其代入抛物线方程中得到

由于点P在第一象限解得，再代入到抛物线中得

，消去参数得点P位于定直线上

由此可得到如下的推广

推广3：设抛物线E方程为，设， P为抛物线E上第一象限内的点，直线F₁P交y轴于点Q，并且F₁P⊥F₁Q，则点P位于定直线上.