精解常用逻辑用语 　　　

目标认知：
考试大纲要求：
     1. 理解命题的概念；了解 逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
     2. 了解命题“若p,则q”的形式 及其逆命题、否命题与逆否命题，分析 四种命题相互关系.
     3. 理解 必要条件、充分条件与充要条件 的意义.
     4. 理解 全称量词与 存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
重点： 充分条件与必要条件的判定
难点： 根据命题关系或充分(或必要)条件进行逻辑推理。
知识要点梳理：
知识点一：命题：
1. 定义：
　　  一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.

（1）命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.
（2）命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理

等都是真 命题

（3）命题“”的真假判定方式：

① 若要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。如：一定推出.
② 若要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.

注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.
2. 逻辑联结词：
　　“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.

（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.
（2）复合命题的构成形式：
　　 ①p或q；②p且q；③非p（即命题p的否定）.

（3）复合命题的真假判断（利用真值表）：

　　　　 ①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；
　　　　 ②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。
　　　　 ③“非p”与p的真假相反.
　　注意：

（1）逻辑 连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立

且q不成立， 二是p不成立但q成立 ，三是p成立且q也成立。可以类比于集合中“或”.

（2）“或”、“且”联结的命题的否定形式：

“p或q”的否定是“p且q”； “p且q” 的否定是“p或q”.

（3） 对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。

典型例题

1．判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由。

（1）矩形难道不是平行四边形吗？

（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？

（3）求证：，方程无实根.

（4）

（5）人类在2020年登上火星.

2（江西卷）下列命题是真命题的为（     ）

  A．若,则            B．若,则   

C．若,则      D．若,则  

3(广东)已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，

则下列命题中为真命题的是（     ）

A．     B．    C．   D．

4（北京）若是真命题，是假命题，则（     ）

（A）是真命题        (B)是假命题  

 (C)是真命题            (D)是真命题

知识点二：四种命题
1. 四种命题的形式：
    用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，则四种命题的形式为：
　　原命题：若p则q； 逆命题：若q则p；
　　否命题：若p则q； 逆否命题：若q则p.
2. 四种命题的关系：
　　　　　　　　　　
　　①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.
　　②逆命题否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.
　  除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.

四种命题及其关系：

关于逆命题、否命题、逆否命题，也可以有如下表述：

第一：交换原命题的条件和结论，所得的命题为逆命题；

第二：同时否定原命题的条件和结论，所得的命题为否命题； 

第三：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题为逆否命题；

5．写出“若或，则”的逆命题、否命题、逆否命题及

命题的否定，并判其真假。

解:     逆命题：若，则或，是真命题；

　　      　否命题：若且，则，是真命题；

　　　      逆否命题：若，则且，是真命题。

　　　      命题的否定：若或，则，是假命题。

知识点三：充分条件与必要条件：
1. 定义：
　　对于“若p则q”形式的命题：
　　①若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
　　②若pq，但qp，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
　　③若既有pq，又有qp，记作pq，则p 是q的充分必要条件（充要条件）.
2. 理解认知：

（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，

再用结论 推条件，最后进行判断.

（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.

“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.
3. 判断命题充要条件的三种方法
（1）定义法：
（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原

命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用

与；与；与的等价关系，对于

条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.
　　(3) 利用集合间的包含关系判断，比如AB可判断为AB；A=B可判断为AB，且

BA，即AB.
　　如图：
　　“”“，且”是的充分不必要条件.
　　“”“”是的充分必要条件.
　　　　　　　　　　　　　　　

6（2011安徽）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（     ）

（A）p:＞b+d ,  q:＞b且c＞d        

（B）p: a＞1,b>1      q:的图像不过第二象限

（C）p: x=1,         q:

（D）p: a＞1,        q:在上为增函数

7（2011全国大纲）使成立的充分而不必要的条件是（     ）

（A）   （B）   （C）   （D）

8（2011福建）．若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的（     ）

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件

C．充要条件                D．既不充分又不必要条件

9（2012江西）“”是“”的（     ）

A．必要不充分条件   B．充分不必要条件 

  C．充要条件         D．既不充分也不必要条件

知识点四：全称量词与存在量词：
1. 全称量词与存在量词：

全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等，通常用符号“”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题，叫做全称命题。全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可表示为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.

   （II）存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在一个”,

“至少有一个”，“有点”,“有些”等，通常用符号“”表示，读作“存在”。含有

存在量词的命题，叫做特称命题　特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可表示

为“”，其中M为给定的集合，p(x)是关于x的命题.

2. 对含有一个量词的命题进行否定：
（I）对含有一个量词的全称命题的否定

全称命题p：，他的否定：全称命题的否定是特称命题。
（II）对含有一个量词的特称命题的否定

特称命题p：，他的否定：特称命题的否定是全称命题。
注意：
（1）命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定（否定一

次），而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定（否定二次）。
（2）一些常见的词的否定：

规律方法指导：
1. 解答命题及其真假判断问题时，首先要理解命题及相关概念，特别是互为逆否命题的真 

假性一致.
2. 要注意区分命题的否定与否命题.
3. 要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，将二

者相互对照可加深认识和理解.
4. 处理充要条件问题时，首先必须分清条件和结论。对于充要条件的证明，必须证明充分

性，又要证明必要性；判断充要条件一般有三种方法：用集合的观点、用定义和利用命

题的等价性；求充要条件的思路是：先求必要条件，再证明这个必要条件是充分条件.
5. 特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用。

　　总结升华：
　　1. 判断复合命题的真假的步骤：
　　　 ①确定复合命题的构成形式；
　　　 ②判断其中简单命题p和q的真假；
　　　 ③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.
　　2. 条件“或”是“或”的关系，否定时要注意.

类型二：四种命题及其关系：
　　10. 写出命题“已知是实数，若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。
　　解析： 逆命题：已知是实数，若a=0或b=0, 则ab=0, 真命题；
　　 　　　否命题：已知是实数，若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题；
　　 　　　逆否命题：已知是实数，若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题。
　　总结升华：
　　1.“已知是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略；
　　2. 互为逆否命题的两个命题同真假；
　　3. 注意区分命题的否定和否命题.

　　　
类型三：全称命题与特称命题真假的判断：

总结升华：
1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中每一个元素，验证成立；

要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立可；
2. 要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使

成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.

类型四：充要条件的判断：

　　总结升华：
　　1. 处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；
　　2. 正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换，特别是与关系.

类型五：求参数的取值范围：

总结升华：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论．

11.已知p：，q：，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围.

12．命题p：关于x的不等式对任意恒成立；

命题q：函数在R上递增

若为真，而为假，求实数的取值范围。

总结升华：从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问题转化，是解决这类问题的基本策略。

类型六：证明：

　　     总结升华：

1.      利用反证法证明时，首先正确地作出反设（否定结论）.从这个假设出发，经过推理论证，

得出矛盾，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般适宜结论本身以否定形式出现，

或以“至多…”、“至少…”形式出现，或关于唯一性、存在性问题，或者结论的反面是

比原命题更具体更容易研究的命题.
2. 反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．

总结升华：
1. 对于充要条件的证明，既要证明充分性，又要证明必要性，所以必须分清条件是什

么，结论是什么。
2. 充分性：由条件结论；必要性：由结论条件.

2.      叙述方式的变化（比如是的充分不必要条件”等价于“的充分不必要要条件是”）.

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1.（2008年湖北卷2）若非空集合满足，且不是的子集，

则                                                            (     )

A.“”是“”的充分条件但不是必要条件

B.“”是“”的必要条件但不是充分条件

C.“”是“”的充要条件

D.“”既不是“”的充分条件也不是“”必要条件

  答案   B

2.（2008年湖南卷2）“成立”是“成立”的   (     )

A．充分不必要条件                 B.必要不充分条件    

C．充分必要条件                   D.既不充分也不必要条件  

答案   B

3. （2007全国Ⅰ）设，是定义在R上的函数，，则“，

均为偶函数”是“为偶函数”的                          （      ）

A．充要条件                          B．充分而不必要的条件

C．必要而不充分的条件                D．既不充分也不必要的条件

答案   B

4.（2007宁夏）已知命题：，则                       （      ）       

A.                B.

C.                D.

答案   C

 5. (2007重庆)命题：“若，则”的逆否命题是        （      ）

A.若，则         B.若，则

C.若，则        D.若，则

答案   D

6.(2007山东)命题“对任意的”的否定是               （     ）

A.不存在               B.存在

C.存在               D.对任意的

  答案   C

7.（2006年天津卷）设集合_，，那么“”是“”的                                                        （     ）

A．充分而不必要条件 　 　　　           B．必要而不充分条件

C．充分必要条件　  　　    　           D．既不充分也不必要条件

答案   B

8.（2006年山东卷）设p：x－x－20>0,q：<0,则p是q的             (      )

A.充分不必要条件                            B.必要不充分条件

C.充要条件                                  D.既不充分也不必要条件

答案   A

解析  p：x－x－20>0Ûx>5或x<－4，q：<0Ûx<－2或－1<x<1或x>2，借助图形知选A.

9.（2005年北京卷 ）（2）“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0

相互垂直”的                                                        (      )

A.充分必要条件                                 B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件                         D.既不充分也不必要条件

答案   B

10.（2005年湖北卷）对任意实数a，b，c，给出下列命题：

①“”是“”充要条件； ②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件③“a>b”是“a²>b²”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.

    其中真命题的个数是                                                （    ）

    A．1                B．2                C．3                D．4

答案   B