第三章 变量之间的关系

1  用表格表示的变量间关系

一、学生知识状况分析

本节课是本章的起始课，与后面三个课时合起来分别呈现的是表示变量之间关系的三种方式——表格法、解析式法和图象法。本章作为研究变量和函数的起始章节，重在让学生感受和体会生活中的“变量”。同时，在第一课时还要教给学生用表格呈现实验中变量的数据的方法。但“数量推理所得到的结果远比那些单纯用数刻画的事实更具威力，这种数量推理稳固地根植于数和有关计算的一般模式之中。（James Fey）”所以，依据变量之间关系的数学表示（表格、解析式和图象）进行预测或推测已知中没有给出的量，也是研究变量之间关系的重要目标之一。

知识基础：本节课是学生在七年级上册教材中学习了探索规律，从统计图中获取信息的基础上，通过表格形式来理解变量、自变量、因变量这些概念。我们生活在变化的世界中，变量与变量的关系，在生活生产中无处不在，通过对实际问题的理解，在表格信息中发现两个变化的量，通过了解哪一个是主动变化的，哪一个是随着变化的，来识别自变量和因变量，这对今后学习函数知识是非常重要的。

活动经验基础：在以前的学习中，学生已经经历了分组学习、合作交流等形式,可以解决一些实际问题，具备了合作学习的能力。

二、教学任务分析

在学生现有的知识基础上，本节的教学及学习任务是鼓励学生用表格整理数据并充分地从表格中获取信息，运用自己的语言进行描述，与同伴进行交流，提高学生合作交流的意识。学生通过对表格中数据的分析，进一步体会变量之间的关系，明确自变量与因变量，并能通过资料分析进行预测。

教学目标：

1．经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感。

2．在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子。

3．学会用表格整理试验得出的数据，能从表格中获得变量之间关系的信息，并根据表格中的资料尝试对变化趋势进行初步的预测。

三、教学过程设计

本节课设计了六个教学环节:进入变化的世界、通过数据感受变化、概念介绍、练习提高、课堂小结、布置作业。

      第一环节：  进入变化的世界

活动内容: 以地壳随时间推移而运动为例，让学生关注到我们生活在变化的世界中,很多东西都在发生变化,请学生列举一些日常生活中常见的发生变化的事物。如:随年龄的增长，身高、体重都发生了变化；随着时间的变化汽车行驶的路程也在变化；烧一壶水10分钟水开了，时间和水温的变化；……

    活动目的:通过举例,希望学生体会身边的事物无时无刻不在发生变化，培养学生善于观察的能力。

活动的注意事项:大部分学生能够举出例子。从学生熟悉的事例入手,提高了他们的学习热情,培养了他们的学习兴趣,并能深刻体会到数学来源于生活。生活中有很多变化的量,从数学角度来研究,将有助于认识世界。

     第二环节：  通过数据感受变化

活动内容:

1.儿童从出生到10岁的体重变化。

婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体重分别大约是出生时的2倍、3倍、4倍，6周岁、10周岁时体重分别约是1周岁时的2倍、3倍。

（1）上述的哪些量在发生变化？

（2）某婴儿在出生时的体重是3.5千克，请把他在发育过程中的体重情况填入下表：

（3）根据表中的数据，说一说儿童从出生到10周岁之间体重是怎样随着年龄的增长而变化的。

2.利用实验器材——小车、木板、秒表、调节高度的装置，让学生参与到“小车下滑的时间”的实验中,并一起完成表格。

利用同一块木板，测量小车从不同的高度下滑的时间，然后将得到的数据填入下表：

注：1.支撑物的高度需根据具体试验情况调整，保持等差（d）增加即可。

2.参考木板与小车间的摩擦程度和木板的长度确定试验中支撑物的起止高度。

根据上表回答下列问题：

（1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？

（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？

（3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？

（4）估计当h=110厘米时，t的值是多少。你是怎样估计的？

（5）随着支撑物高度h的变化，还有哪些量发生变化？哪些量始终不发生变化？

注：第（1）、（3）、（4）中的数据需根据具体试验中数据进行调整。

3.各小组选择在第一环节中举到的容易操作的试验内容，课后分组完成。

活动目的:通过数据感受具体的变化及其中的蕴含的规律；让学生参与到收集数据的试验过程中，亲身感受随着支撑物高度的增加,小车下滑所用的时间越来越少。活动2问题(4)是进行预测,对学生来说有一定难度,鼓励学生充分进行交流,培养他们从表格获取信息的能力。

活动的注意事项:

1. 活动1中对于感兴趣的学生，可以鼓励他们进一步发现二者之间的数量关系。

2. 活动2的问题(1)、(2)、(3)、（5）很容易得到解决,对于问题（4）的预测,学生的回答可能有分歧,教师要发挥主导作用,对于答案在合理范围的都要给予肯定。另一方面,通过试验计时,可以对预测加以证实。

3. 学生在回答问题时可能语言不够准确,教师要适当引导,鼓励学生用自己的语言进行描述。让学生体会到集体的智慧、合作交流的必要性。

    第三环节：  概念介绍

活动内容: 

在“小车下滑的时间”中，

支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是变量(variable)。其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化。支撑物的高度h是自变量(independent  variale)，小车下滑的时间t是因变量(dependent  variale)。

在这一变化过程中，小车下滑的距离（木板的长度）一直没有变化。像这种在变化过程中数值始终不变的量叫做常量（constant）。

在“儿童从出生到10岁的体重变化”中，儿童的体重随年龄的变化而变化。年龄是自变量，体重是因变量。

借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。在表格里，通常把自变量放在上（或左）面，把因变量放在下（或右）面。

活动目的:通过两个例子,理解变量、自变量、因变量、常量这些概念，同时体会表格对于数据的整理和呈现起到的作用。对于解决日常生活中变化的事物很有帮助。

活动的注意事项:学生在自己设计表格呈现变量之间关系的时候可能会产生困难。以让学生体会数学与实际生活的联系,增加了学生的学习兴趣为本环节的目的。

    第四环节  练习提高

活动内容:

1．议一议∶我国从1949年到2009年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）：

(1)如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？

(2)x和y哪个是自变量?哪个是因变量?

(3)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样的变化？

(4)你能根据此表格预测2019年时我国人口将会是多少吗？

2．人口与环境是我们应该关心的问题，阅读下列材料完成相应的任务。

（1）据世界人口组织公布，地球上的人口1600年为5亿，1830年为10亿，1930年为20亿，1960年为30亿，1974年为40亿，1987年为50亿，1999年为60亿，而到2011年地球上的人口数达到了70亿。用表格表示上面的数据，并说一说世界人口是怎样随时间推移而变化的。

（2）表一：国家统计局对于2003年至2010年我国的环境污染治理投资费用的统计见下表：

表二：根据国家统计局对于全海域海水水质评价结果的统计，较清洁海域面积在2003至2010年间的变化情况如下表：

阅读完两个表格，你有哪些感想？

3．研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 

(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

(2)当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是多少？如果不施氮肥呢？

(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由。

(4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响。

4．某电影院地面的一部分是扇形，座位按下列方式设置：

(1)上述哪些量在变化？自变量和因变量分别是什么？

(2)第5排、第6排各有多少个座位？

(3)第n排有多少个座位？请说明你的理由。  

活动目的:对本环节知识进行巩固练习。在教学中要让学生体会不同情境下的变量之间的关系，如一个量随着另一个量增加的，一个量随着另一个量减少的，一个量随着另一个量先增加后减少或先减少后增加的，等等，避免单一的情况。

活动的注意事项:以锻炼学生从表格获取信息的能力以及对变化趋势进行初步预测能力为目的。

     第五环节   课堂小结

活动内容:师生互相交流总结本节所学的知识,如何从表格中获取信息；如何用表格表示变量之间的关系；如何对变化趋势进行预测。

活动目的:鼓励学生谈本节的收获和体会,验收他们的学习效果。

活动的注意事项:以学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，感受生活中处处存在数学,数学反过来应用于生活为目的。

     第六环节  布置作业

1．习题3.1：问题解决4、5

2．分小组设计一个小试验，用表格记录试验结果，并根据试验结果设计几个问题。如：

工具：一根针、一个装有一定量水的饮料瓶、一把刻度尺（固定在饮料瓶中）和一块秒表．

方法：将饮料瓶用针戳一个小眼，让水从小眼流走，对饮料瓶中的刻度尺每隔一分钟记录一次，将观察到的数据填入下表：

（1）当你观察到第5分钟时，刻度尺读数是多少？ 

（2）如果用表示水流出的时间，表示刻度尺读数，随着逐渐变大，的变化趋势是什么？ 

（3）每增加1分钟，的变化情况相同吗？ 

（4）估计当=12时，的值是多少，你是怎样估计的？

又或者：点燃一支蜡烛，记录蜡烛的长度和燃烧时间（每3分钟）之间的关系。

四、教学设计反思

1．这节课从现实生活入手，数据来自于学生可以参与的试验过程，来自于现实生活关注的人口问题、环境问题，培养了学生的探究、试验精神，而且始终贯穿对学生的德育教育。

通过本节课的学习，学生可以意识到研究变量之间的关系是可以帮助我们把握事物发展的一定规律的，是可以帮我们找出影响事物发展的一些因素的。只有致力于这样的研究，才能改善我们的生存环境。所以，首先要关心周围世界发生的变化，变量之间的联系，并且使之成为一种习惯。

2．关于小车下滑时间的活动实验，在实际操作中有许多的困难，虽然学校的物理实验室可以提供木板和小车，秒表容易准备，而垫木可以用数学书替代，但是根据以前上这堂课的经验，材料之间还是存在差异的，而且测量要求的精度很高，非常难把握。分组试验得到的数据各组之间相差很大。因为受器材影响，实际上各组试验的环境是不同的，所以此时综合各组数据取平均值是不正确的。因此建议此实验在不能保证各小组试验环境相同的情况下不宜分组。也可以自行设计其它的容易操作的实验，例如弹簧秤的伸长与挂重的关系等等。

3．由于实验用的时间不容易把握，可能导致后面学习、讨论的时间较为紧张，老师应该根据学生的具体情况做适当的调整，使教学达到最佳的效果。