儿童有着不同于成人的精神世界,有天生丰富的想象,有体验的勇气与超凡的原始创造力。学生试题的解答中出现的小众答案成人永远无法预测,如此,每年的市级统一测试命题者往往怀着既不安又好奇的心态等待“小众思维”的出现。
【例1】画一条4厘米长的线段。(二年级)
这一道看似送分的题,批阅下来竟然有五名平常学习成绩不错的孩子错了,而且错误一摸一样,工工整整的画着长5厘米长的线段,还标上了数据,why? 张老师郁闷,少了5个满分,百思不得其中的缘由。
学生返校时一一面谈,孩子理直气壮地答日:“4厘米长的线段(重音落在“长”),5厘米比4厘米长1厘米,不是对的吗?”Oh yeah,张老师思索了好几天的问题一下子有了答案,张老师一琢磨,还有点道理。学生把“4厘米长”理解成了“比4厘米长”,是在读这个句子是重音的位置不同造成了理解的不同,重音落在“长”,画出的是比4厘米长的线段,看来平时的对比训练、理解句子训练没做到位。转念一想,如果题目改为“画一条长度是4厘米的线段或者画一条4厘米的线段”会不会便于学生的理解,也能体现考察目的。
【例2】
如右图 ,从A点引出的六条线段中,( )是最短的一条线段。(四年级)
此题考查点到直线的距离中垂线最短,判断没问题,但多数学生填写的是(F)不是(AF)。关于用字母表示线段,四年级上册没有正式学习过,但在课本(人教版第七册)P69、76“你知道吗?”中出现过用字母表示线段,如果老师日常教学中注意渗透这一知识点的教学,学生应该不会陌生。此外,对于学生填写(F)这一答案,教师评判是否也可以算作正确呢?我们将此答案放到原题中看一看,如右图 ,从A点引出的六条线段中,(F)是最短的一条线段。因为有了“从A点引出的六条线段中”这个前提,针对这一前提,填写(F)应该指向性很明确,就是AF这条唯一的线段,不严密的是F表示的是点,AF表示的是线段。
当然,从严密的角度试题可以改为“从A点引出的六条线段中,A到(F)是最短的一条线段。”。
【例3】怎样简便就怎样计算。120÷25÷4(四年级)
一位平时学习成绩尚好的四年级女生一路哭着回家,询问得知错了一道计算题,原本追求满分的目标泡汤了。翻阅几个班级的试卷。发现关于此题有如下五种解答方式:
①120÷25÷4 ②120÷25÷4 ③ 120÷25÷4
=120÷4÷25 =(4……20)÷4 =120÷(25×4)
=30÷25 =1+5 =120÷100
=1……5 =6
=1……20
④ 120÷25÷4 ⑤ 120÷25÷4
=(4……20)÷4 =120÷(25×4)
=1……20 =120÷100
=1.2
采访监考老师,他们监考现场观看学生答题过程,发现当简算到120÷100时,有的直接答1.2;有很多学生产生了迟疑,用橡皮擦来擦去,不停改写。其中,解答⑤人数最多,解答③人数其次,人数也不少,①解答人数再次,②④解答均为个别现象。老师的评分认可的只有第五种解答方式。
分析本题命题意图,考点在于考查学生简算意识与简算方法。对学生来说简算是强刺激,①③⑤三种解答方式均体现出学生具备简算意识,解答①与解答③⑤的简算方法虽有所区别,但都是可行的。查阅人教版四下教材关于类似“120÷25÷4”的简算练习题,被除数均是整百数,当然简算单元出现在小数点位置移动单元之前。如果本题命题的考点还包括“小数点位置移动求商”的话,那么运用“小数点位置移动求商”对相当一部分学生是弱刺激。
对于解答①③该如何评判呢?解答⑤是此题唯一的答案吗?
①120÷25÷4 =120÷4÷25=30÷25=1……5
③120÷25÷4=120÷(25×4)=120÷100=1……20
笔者曾和一些老师探讨解答①和③,同一算式为什么改变运算顺序会有不同的结果?答案是对的吗?如何向学生解释?在疑惑中无意间得知,南京师范大学徐文彬有文章恰好涉及到这一类问题。徐文彬指出将算式放在应用解决问题的情境中,便于理解答案中出现的不同余数。为了方便,笔者将上面的算式简化改为28÷2÷4,放在下面的情境中:有一个两层的简易书橱,每一层有8个格子,将28本书放入这个简易书橱中,平均每个格子放几本书?下面三种解答:
①28÷2÷4
=14÷4=3……2
②28÷2÷4 =28÷4÷2=7÷2=3……1
③28÷2÷4
==28÷(2×4)=28÷8=3……4
观察以上有余数连除计算题与相应的方格图,解答①中28本图书,先每层放14本,再将14本平均放在4个方格中,每层多出2本,两层一共多出4本。解答②是将书橱上下2层中的各一格看成一组,共有四组。28本图书,先平均分成4组,每组7本,再将7本平均放在每组的2个方格中,每组多出1本,四组一共多出4本。解答③中28本图书,直接平均放在8个格子里,一共多出4本。
以上的分析,我们发现关于28÷2÷4的三种计算结果都应该是正确的,最后剩余的都是4本图书。三种解法中不同的余数源自不同的除数,脱离除数谈余数是没有意义的。反观有余数除法的学习,教师关注的是笔算竖式的格式、强调余数小于除数,缺乏深化“余数随着除数的变化而变化”的理解,更鲜有有余数连除的计算,所以上述问题无论学生还是老师都是空白。
【例4】 怎样简便就怎样计算。37×(六年级)
此题学生出现两种解决方法,大众的解答是37×=(36+1)×=36×+=7。小众的解答是直接=。此处小众的解答能否算完全正确呢?
课本p14(人教版十一册)“应用乘法的运算定律,可以使一些计算简便。”的教学中,在“做一做,用简便方法计算,说一说运用什么运算定律。”中出现:87×。笔者以为课本强调了“用简便方法计算”,目的重在通过此题学习用乘法分配率简算的方法,而非计算结果。
试题“怎样简便就怎样计算。37×”要求与课本不同,分子37×7的结果六年级学生完全可以口算,怎样简便就怎样计算,明明直接口算简便又何必舍近求远、舍简求烦呢?其实小众的解答者还是有顾虑的,他们当中有些人把原题重新抄写了一遍,如:37×=37×=,唯恐与左右两边式子长度不够对称,也有为数不多的两三个意志坚定地直接写了结果(还是平时特别自信有数学思想的孩子)。
如果命题者意图完全是考查乘法分配率简算的方法,不妨将此题改成分子无法口算,如137×,这样更能体现简算的好处,更具有说服力。
【例5】操作题。
右面的10×10方格图每个方格边长表示1厘米,
在右图中描出下面各点并连接成一个封闭图形。
A(3,8)B(9,8)C(9,2)D(3,2)
在这个封闭图形中内画一个最大的半圆,
计算这个半圆的面积。(六年级)
以下是三个不同的学生的解答。
① ②
③
图①是最常规的解答,封闭图形是正方形,以正方形内的最大圆的半径3厘米为半径画半圆;图②依旧是半径3厘米的半圆,只是半圆的位置有了变化;图③的出现让阅卷王老师大吃一惊,随即传于六年级老师,数学组老师特别兴奋。
这个封闭图形中最大半圆的半径是否有可能大于3厘米?可以尝试用圆规两脚沿着正方形对角线向正方形的一个顶点移动,找出最大的直径,图③半圆的半径相当于2.5个正方形小方格对角线的长度,通过勾股定理计算出1²+1²=2,根号2约等于1.414 ,2.5个正方形小方格对角线的长度约是3.5厘米。六年级近300近学生这是唯一最正确的画法,尽管图中标出的半径是2,令老师们瞠目结舌的是计算面积该生却用的是半径3.5,标出的半径是2可能是一个笔误。事后采访是一位女生,简直应该就是一位“女神”,画图的方法与我们分析的大致相同,半径3.5怎么来的还原不出来了。不管怎样,“女神”的解答带给大家的是深层次的思考。
此题是否应该改为“以封闭图形一条边长为直径画一个最大的半圆,计算这个半圆的面积。”这样更适合六年级的学生的认知水平与解决问题的能力水平。
身为数学教师,时常感受到“小众思维”的奇妙,往往产生别样惊喜、别样启示,这是数学的美丽、个性思维的魅力。小众答案的出现对于命题者与试卷批阅者提出了新的挑战。命题是否应全方位考虑可能产生的“小众思维”,让试题更加严密?评判能否不随意用“×”否定学生的思维火花?能否像本文中的张老师、王老师,多问几个why?能否站在学生个性思维角度评判其思维过程而非仅限于考查结果?